Question

20．如图所示，质量为1千克的小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，轨道半径 R为1m，小球在轨道的最高点对轨道的压力刚好为零．重力加速度取10m/s²，问：
（1）小球离开轨道落到距地面R高处时，小球水平位移是多少？
（2）小球落地时速度为多大？

Answer 1

分析 （1）首先根据小球在最高点时与轨道间的压力为零，可求得此时小球的速度，在结合平抛运动的知识，即可求得小球离开轨道落到距地面R高处时，小球水平位移．
（2）小球从最高点平抛至落地的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由此可解得小球落地时的速度．

解答 解：（1）小球离开最高点后做平抛运动，在最高点时，重力提供向心力，设此时小球的速度为v₀，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×1}$=$\sqrt{10}$m/s
小球离开轨道落到距地面R高处时，竖直方向上的位移为R，设时间为t，有：
竖直方向有：R=$\frac{1}{2}$gt²…①
水平方向有：x=v₀t…②
联立①②并代入数据解得：x=$\sqrt{2}$m
（2）小球从最高点到落地的过程中，机械能守恒，设落地速度大小为v，有：
mg×2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据解得：v=5$\sqrt{2}$m/s
答：（1）小球离开轨道落到距地面R高处时，小球水平位移是$\sqrt{2}$m．
（2）小球落地时速度大小为5$\sqrt{2}$m/s

点评 解答该题首先要明确小球在竖直面内做圆周运动时在最高的受力特征及速度的大小的要求，同时要注意两种模型：
一是绳子模型（竖直面内只有外轨道的情况也属于绳子模型），此模型在最到点时的最小速度为$\sqrt{gR}$，此时与绳子和外轨道没有相互作用力．
二是轻杆的模型（竖直面只有内轨道也属于轻杆模型），此模型在最到点时的最小速度为0，此时与轻杆和内轨道没有相互作用力．
再者就是注意机械能守恒的条件，是只有重力和弹力做功时，机械能守恒，并能熟练的应用机械能的守恒进行相关的分析和计算．