Question

11．如图所示，与水平面成37°倾斜轨道AB，其沿直线在C点与半径R=1m的半圆轨道CD相切，全部轨道为绝缘材料制成且放在竖直面内．整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场．一个质量为m=0.4kg的带电小球沿斜面AB下滑，至B点时速度为v_B=$\frac{100}{7}$m/s，接着沿直线BC（此处无轨道）运动到达C处进入半圆轨道，进入时无动能损失，在小球到达D点，从D点飞出时磁场消失．不计空气阻力，g=10m/s²，cos37°=0.8，求：
（1）小球带何种电荷，小球在BC之间做何种运动．
（2）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 带电粒子在只有电场的倾斜轨道上做匀加速运动后，进入电场与磁场混合的场中做匀速直线运动，重力、洛伦兹力与电场力处于平衡状态，接着沿半圆轨道运动刚好能达到D点，最后从D点做类平抛运动，此时所受到的合力正好与速度相互垂直．因此由电场力与电场强度方向可确定小球所带电性，同时利用平抛运动规律可得小球垂直与速度方向上发生的位移，从而求出运动的时间，最终确定沿速度方向的运动的位移．小球在半圆轨道上由运动定理可得克服摩擦力做功多少．

解答 解：（1）小球在BC段做直线运动，故说明受力平衡；受力只能出现如图所示的情况；电场力与电场线方向相同；故说明小球带正电；
因为洛仑兹力随速度的变化而变化，则粒子如果做变速运动则一定不能做匀速直线运动；故小球只能在BC间做匀速直线运动．
（2）在C点的速度为：v_C=v_B=$\frac{100}{7}$m/s，
在BC段其受力如图所示，设重力和电场力合力为F．
合力：F=qv_CB，又 F=$\frac{mg}{cos37°}$=$\frac{0.4×10}{0.8}$=5N，
解得：qB=$\frac{F}{{v}_{C}}$=$\frac{5}{\frac{100}{7}}$=$\frac{7}{20}$，
在D处由牛顿第二定律可得：qv_DB+F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
将qB代入上式化简得：8v_D²-7v_D-100=0，
解得：v_D=4m/s，（v_D=-$\frac{25}{8}$m/s，不合题意，舍去），
由动能定理得：-W_f-F•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²，
代入数据解得：W_f=27.6J；
答：（1）小球带正电荷．
（2）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功为27.6J．

点评 小球从D点飞出后，正好受到重力与电场力且这两个力的合力与速度垂直，所以刚好做类平抛运动．因此可以将倾斜轨道等效看成水平面，相当于小球做平抛运动，从而可以运用平抛运动规律来处理．