Question

17．宇航员乘坐航天飞船，在距月球表面高度为H的圆轨道绕月运行．经过多次变轨最后登上月球．宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铅球从高度为h处释放，二者经时间t同时落到月球表面．已知引力常量为G，月球半径为R，求：
（1）月球的质量（不考虑月球自转的影响）；
（2）航天飞船在靠近月球表面圆轨道运行的速度与高度为H圆轨道运行速度之比．

Answer 1

分析 根据自由下落的运动规律求解月球表面的重力加速度．
忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．
研究卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式．

解答 解：（1）将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面．根据自由下落的运动规律得：
h=$\frac{1}{2}$gt²
g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$ 
忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg 
得月球的质量为：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）根据万有引力充当向心力知：F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
航天飞船在靠近月球表面圆轨道运行的速度为：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$
高度为H圆轨道运行速度为：v₂=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{2h{R}^{2}}{R+H}}$ 
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$
答：（1）月球的质量为$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）航天飞船在靠近月球表面圆轨道运行的速度与高度为H圆轨道运行速度之比$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$．

点评 把星球表面的物体运动和天体运动结合起来是考试中常见的问题．
重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量