题目内容
20．万有引力定律清楚的向人们揭示复杂运动的背后隐藏着简洁的科学规律，天上和地上的万物遵循同样的科学法则，具有内在的一致性．（1）利用万有引力定律可以测量天体的质量．
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．
已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G．若忽略地球自转的影响，求地球的质量M．
（2）利用万有引力定律可以测量地面上山的高度．
由于地球自转的影响，物体所受的万有引力的一个分力提供随地球自转的向心力，另一个分力为重力，因此地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．如在北极处由于向心力为0，重力加速度最大；而在赤道处，万有引力、向心力和重力方向相同，向心力最大，因而重力加速度最小．用测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，测力计的读数是F0．
（i）若在北极上空高出地面h处的山顶称量，测力计读数为F1，求出$\frac{h}{R}$的表达式，并就$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km的情形算出h的具体数值（已知$\sqrt{1.002}$=1.001，计算结果保留两位有效数字）．
（ii） 若在赤道地面称量，测力计读数为F2，求比值$\frac{F_2}{F0}$的表达式．
分析 （1）根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，可解得地球的质量M．
（2）（i）根据万有引力等于重力得出$\frac{h}{R}$比值的表达式，并就$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km的情形带入求出具体的数值．
（ii）在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表达式．
解答 解：（1）设地球表面上一物体的质量为m，
根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
（2）（i）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
${F}_{0}=\frac{GMm}{{R}^{2}}$①
${F}_{1}=\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$②
解得：$\frac{h}{R}=\sqrt{\frac{{F}_{0}}{{F}_{1}}}-1$
若$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km，
解得：h=$（\sqrt{1.002}-1）×6.4×1{0}^{6}m=6.4×1{0}^{3}m$，
（ii） 在赤道处，根据向心力公式得：
${G\frac{Mm}{{R}^{2}}-}_{\;}{F}_{2}=m{ω}^{2}R$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$③
由①③解得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}=1-\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}GM}$
答：（1）地球的质量M为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）（i）$\frac{h}{R}$的表达式为$\frac{h}{R}=\sqrt{\frac{{F}_{0}}{{F}_{1}}}-1$，h的具体数值为6.4×103m；
（ii）比值$\frac{F_2}{F0}$的表达式为$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}=1-\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}GM}$．
点评 解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．
如图所示，倾角为θ=30°的光滑斜面上，放有质量不等的两个小物块，物块之间用一轻弹簧相连接，当弹簧被压缩到长为L=3m时，用一细线连接两物块，下面质量为m=1kg的物块离斜面底端所在水平面的高度为H=15m．两物块从静止开始下滑，当都进入光滑水平地面时（不计与地面碰撞的机械能损失），细线被烧断，质量为M=2kg的物块能沿斜面刚好上升到h=4m高处，质量为m的物块滑上一质量为M的长木板，长木板上表面与左端水平地面等高，下表面光滑，物块m没有从木板滑下．（已知重力加速度g=10m/s2），求：
如图所示，在一个倾角为θ的斜面上，有一个质量为m，带负电的小球P（可视为点电荷），空间存在着方向垂直斜面向下的匀强磁场，带电物体与斜面间的摩擦力不能忽略，它在斜面上沿图中所示的哪个方向运动，有可能保持匀速直线运动状态是（ ）| A． | v1方向 | B． | v2方向 | C． | v3方向 | D． | v4方向 |
| A． | 核子结合成原子核吸收的能量或原子核拆解成核子放出的能量称为结合能 | |
| B． | 比结合能越大的原子核越稳定，因此它的结合能也一定越大 | |
| C． | 中等质量原子核的结合能和比结合能均比轻核的要大 | |
| D． | 重核与中等质量原子核相比较，重核的结合能和比结合能都大 |
| A． | 利用地球上接收到遥远天体发出的光波的频率来判断遥远天体相对于地球的运动速度 | |
| B． | 交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，波被运动的汽车反射回来时，根据接收到的频率发生的变化，就可知汽车的速度，以便于交通管理 | |
| C． | 铁路工人用耳贴在铁轨上可判断火车的运动情况 | |
| D． | 有经验的战士从炮弹飞行的尖叫声判断飞行炮弹是接近还是远去 |
| A． | 物体在恒力作用下也可能做曲线运动 | |
| B． | 曲线运动是变速运动，所以沿速度方向的合力一定不为零 | |
| C． | 匀速圆周运动是速度、向心力、向心加速度均不变的运动 | |
| D． | 圆周运动的合外力一定指向圆心，合外力提供向心力 |
宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，已知球的体积公式是V=$\frac{4}{3}$πR3．求：