Question

13．如图所示，倾角为θ=30°的光滑斜面上，放有质量不等的两个小物块，物块之间用一轻弹簧相连接，当弹簧被压缩到长为L=3m时，用一细线连接两物块，下面质量为m=1kg的物块离斜面底端所在水平面的高度为H=15m．两物块从静止开始下滑，当都进入光滑水平地面时（不计与地面碰撞的机械能损失），细线被烧断，质量为M=2kg的物块能沿斜面刚好上升到h=4m高处，质量为m的物块滑上一质量为M的长木板，长木板上表面与左端水平地面等高，下表面光滑，物块m没有从木板滑下．（已知重力加速度g=10m/s²），求：
（1）物块M在斜面上滑动时，弹簧和细线对物块m做的总功．
（2）物块m在木板上滑动时产生的热量．

Answer 1

分析 （1）物块m在斜面上滑动时弹簧和细线对它的总作用力为零，不做功．假设物块m刚到达水平地面时的速度为v₁，对系统由动能定理列式，物块M刚到达水平地面时的速度为v₂，对系统由动能定理列式，而弹簧和细线对物块m做的总功等于m动能的变化量，联立方程即可求解；
（2）细线被烧断后，物块M的速度为v₃，物块m的速度为v₄，两物块动量守恒，根据动量守恒定律列式，物块M从新上升到斜面的最高点过程中，由动能定理列式，另一质量为m的物块滑上一质量为M的长木板的过程中，根据动量守恒定律列式，再由能量守恒得物块m在木板上滑动时产生的热量，联立方程即可求解．

解答 解：（1）物块m在斜面上滑动时弹簧和细线对它的总作用力为零，所以不做功．
假设物块m刚到达水平地面时的速度为v₁，对系统由动能定理得：
（M+m）gH=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²                      ①
物块M刚到达水平地面时的速度为v₂，对系统由动能定理得
（M+m）gH+MgLsin θ=$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²            ②
所以弹簧和细线对物块m做的总功
W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²                           ③
联立以上①②③式可得
W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{MmgLsinθ}{M+m}$=10 J．
（2）细线被烧断后，物块M的速度为v₃，物块m的速度为v₄，两物块动量守恒
（M+m）v₂=-Mv₃+mv₄④
物块M从新上升到斜面的最高点过程中，由动能定理得
-Mgh=0-$\frac{1}{2}$Mv₃²                          ⑤
另一质量为m的物块滑上一质量为M的长木板动量守恒
0+mv₄=（M+m）v₅⑥
由能量守恒得物块m在木板上滑动时产生的热量
Q=$\frac{1}{2}$mv₄²-$（\frac{1}{2}m{{v}_{5}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{5}}^{2}）$ ⑦
联立求得：Q=$\frac{1}{2}$mv₄²-$（\frac{1}{2}m{{v}_{5}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{5}}^{2}）$=$\frac{5120}{3}$J=1707 J．
答：（1）物块M在斜面上滑动时，弹簧和细线对物块m做的总功为10J．
（2）物块m在木板上滑动时产生的热量为1707J．

点评 本题主要考查了动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律的直接应用，过程较为复杂，要求同学们正确分析物体的受力情况和运动情况，选择合适的定理求解，难度较大．