Question

4．长为R的轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端为固定转轴，使之在竖直平面内做圆周运动．求以下两种情况时小球在最高点的速度各为多少？
（1）在最高点时，小球对杆的压力为$\frac{1}{2}$mg；
（2）在最高点时，小球对杆的拉力为$\frac{1}{2}$mg．

Answer 1

分析 在最高点时，小球受到重力和杆子的作用力，两个力的合力提供向心力，根据圆周运动向心力公式求解即可．

解答 解：（1）在最高点时，当小球对杆的压力为$\frac{1}{2}$mg时，根据圆周运动向心力公式得：
mg-$\frac{1}{2}mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
（2）在最高点时，当小球对杆的拉力为$\frac{1}{2}$mg时，根据圆周运动向心力公式得：
mg+$\frac{1}{2}mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{3}{2}gR}$
答：（1）在最高点时，小球对杆的压力为$\frac{1}{2}$mg时，小球速度为$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$；
（2）在最高点时，小球对杆的拉力为$\frac{1}{2}$mg时，小球的速度为$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$．

点评 本题主要考查了圆周运动向心力公式的直接应用，注意如果不知道杆子对小球力的方向时，可以采用假设法．