Question

8．如图所示，一个长为2m、宽为1m粗细均匀的矩形线框，质量为m、电阻为R=5Ω，放在光滑绝缘的水平面上，一个边长为2m的正方形区域内，存在竖直向下的匀强磁场，其左边界在线框两长边的中点MN上．
（1）在t=0时刻，若磁场从磁感应强度为零开始均匀增强，变化率$\frac{△B}{△t}$=0.5T/S，线框保持静止，求在t=2s时加在线框上的水平外力大小和方向；
（2）若正方形区域内磁场的磁感应强度恒为B=1T，磁场从图示位置开始以速度v=5m/s匀速向左运动．并控制线框保持静止，求到线框刚好完全处在磁场中时通过线框的电量和线框中产生的热量；
（3）若正方形区域内磁场的磁感应强度恒为B，磁场从图示位置开始以速度v匀速向左运动，线框同时从静止释放，线框离开磁场前已达到稳定速度，加速过程中产生的热量为Q，求该过程中运动磁场提供给线框的能量．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律与安培力大小公式，及左手定则，即可求解；
（2）由切割感应电动势与电量表达式，从而得出电量综合表达式，再由焦耳定律，即可求解；
（3）根据切割感应电动势表达式，依据牛顿第二定律，并结合能量守恒定律，从而求解．

解答 解：（1）区域磁场均匀增强，线框中电动势：$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}S$
电流：$I=\frac{E}{R}$
长为2m、宽为1m，设长为2L，宽度为L，则经过时间t时加在线框上的外力：F=F_安=BIL=$\frac{{k}^{2}{L}^{3}t}{R}$；  
代入数据得：F=0.1N
方向水平向右；
（2）区域磁场从线框上MN位置以速度v匀速向左运动时
电动势：E=BLv
电流：$I=\frac{E}{R}$
经历时间：$t=\frac{L}{v}$
则通过线框的电量：$q=It=\frac{{B{L^2}}}{R}$=$\frac{1×{1}^{2}}{5}$=0.2C
线框中产生的热量：$Q={I^2}Rt=\frac{{{B^2}{L^3}v}}{R}$=$\frac{{1}^{2}×{1}^{3}×5}{5}=1$J
（3）线框速度为某一值v_x时，线框中的电动势：E=BL（v-v_x）
电流：$I=\frac{E}{R}$
由牛顿第二定律得：ma=BIL
解得：$a=\frac{{{B^2}{L^2}（v-{v_x}）}}{mR}$
线框稳定时a=0，v_x=v
由能量守恒定律，得区域磁场提供给线框的能量：$W=\frac{1}{2}m{v^2}+Q$
 答：（1）在t=2s时加在线框上的水平外力大小是0.1N，方向水平向右；
（2）线框刚好完全处在磁场中时通过线框的电量是0.2C，线框中产生的热量是1J；
（3）线框速度为某一值v_x时的加速度和该过程中运动磁场提供给线框的能量$\frac{1}{2}$mv²+Q．

点评 考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律的应用，掌握电量的综合表达式，理解焦耳定律与牛顿第二定律的应用，注意能量守恒定律的巧用．