Question

3．如图所示，水平地面上放有一张正方形桌子，桌面abcd边长为L，桌面水平、光滑、绝缘，距地面高度为h，正方形桌面内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在桌面以外有竖直向下的匀强电场，电场强度为E．（电场、磁场图中没有画出）一质量为m，电荷量为q的带正电小球（可看做质点），从桌面边缘ad中点M，以垂直于ad边的速度v进入磁场区域．重力加速度为g．
（1）要使小球能够从ab边飞离桌面，求小球进入磁场时速度大小的范围；
（2）若小球恰好能从桌面上b点飞出，求小球落地点到桌面上b点的距离．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求得小球做圆周运动的半径范围，即可由洛伦兹力做向心力求得速度范围；
（2）由小球从b点飞出得到小球的速度，然后分析小球在下落过程的受力情况，根据类平抛的位移公式求得位移．

解答 解：（1）对小球做受力分析可知，小球在桌面上运动时重力与支持力平衡，那么小球在桌面上受到的合外力为洛伦兹力，故小球在洛伦兹力的作用下做圆周运动，故有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\frac{BqR}{m}$；
由几何关系可知：要使小球能够从ab边飞离桌面，那么小球不从ad边射出，即运动半径$R≥\frac{L}{4}$；小球不从bc边射出，即运动半径$R≤\frac{5}{4}L$；所以，$\frac{L}{4}≤R≤\frac{5L}{4}$；
故有$\frac{BqL}{4m}≤v≤\frac{5BqL}{4m}$；
（2）若小球恰好能从桌面上b点飞出，那么小球飞出时的速度${v}_{0}=\frac{5BqL}{4m}$，方向沿水平方向；
小球飞出后只受重力和电场力作用，故合外力F=mg+qE，方向竖直向下，所以，小球做类平抛运动；
那么，小球的加速度$a=\frac{F}{m}=\frac{mg+qE}{m}$，小球的运动时间为$t=\sqrt{\frac{2h}{a}}=\sqrt{\frac{2mh}{mg+qE}}$；
那么，小球的水平位移$x={v}_{0}t=\frac{5BqL}{4m}\sqrt{\frac{2mh}{mg+qE}}$；
所以，小球落地点到桌面上b点的距离
$d=\sqrt{{x}^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{\frac{25{B}^{2}{q}^{2}{L}^{2}h}{8m（mg+qE）}+{h}^{2}}$；
答：（1）要使小球能够从ab边飞离桌面，则小球进入磁场时速度大小的范围为$[\frac{BqL}{4m}，\frac{5BqL}{4m}]$；
（2）若小球恰好能从桌面上b点飞出，那么小球落地点到桌面上b点的距离为$\sqrt{\frac{25{B}^{2}{q}^{2}{L}^{2}h}{8m（mg+qE）}+{h}^{2}}$．

点评 带电粒子的运动问题，一般先对粒子进行受力分析得到粒子的运动情况，然后再根据几何关系求得运动轨迹，即可求解运动速度、时间等问题．