题目内容

20．某传送带装置在竖直平面内的横截面如图所示，ab段水平，bcd段为$\frac{1}{2}$圆周．传送带在电机的带动下以恒定速率ν=4m/s 运动，在传送带的左端点a无初速地投放质量m=1kg的小物块（可视为质点），当第一个物块A 到达b 点时即刻在a 点投放另一相同的物块 B．物块到达b 点时都恰好与传送带等速，此后能确保物块与传送带相对静止地通过bcd段．物块到达最高点d 时与传送带间的弹力大小恰等于其重力．在d端点的左方另有一平直轨道ef，轨道上静止停放着质量M=1kg的木板，从d点出来的物块恰能水平进入木板上表面的最右端，木板足够长．已知：
物块与传送带间的动摩擦因数μ1=0.8，与木板间的动摩擦因数μ2=0.2；木板与轨道间的动摩擦因数μ3=0.1；设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2．试求：
（1）每个物块在传送带abcd上运行的时间；
（2）传输A物块，电机所需提供的能量（不计传动机构的其他能量损耗）；
（3）木板运动的总时间．

分析 （1）对A进行受力分析得到合外力，进而由牛顿第二定律求得加速度，即可得到物体在ab上的运动时间；然后对物体在d点应用牛顿第二定律即可求得半圆轨道半径，从而得到运动时间；
（2）对传送A物体过程应用能量守恒定律，即可求解；
（3）将A物块在木板上运动和A、B一起在木板上运动，按A、B和木板速度关系进行划分，然后对各物体进行受力分析，求得加速度，即可由匀变速规律求得运动时间．

解答 解：（1）物体在ab上做初速度为零的匀加速直线运动，物体所受合外力为f=μ1mg，所以，加速度$a={μ}_{1}g=8m/{s}^{2}$，所以，运动时间${t}_{1}=\frac{v}{a}=0.5s$；
物块到达最高点d 时与传送带间的弹力大小恰等于其重力，故由牛顿第二定律可得：$mg+mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{{v}^{2}}{2g}=0.8m$，那么，物体在半圆轨道上的运动时间${t}_{2}=\frac{πR}{v}=0.2π（s）$；
故每个物块在传送带abcd上运行的时间t=t1+t2=0.5+0.2π（s）；
（2）由能量守恒定律可知：传输A物块，电机所需提供的能量等于物块A的机械能和克服摩擦力做功之和，
故$Q=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR+fs$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR+{μ}_{1}mg×（v{t}_{1}-\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}）$=$\frac{1}{2}×1×{4}^{2}+2×1×10×0.8+0.8×1×10×（4$×$0.5-\frac{1}{2}×8×0．{5}^{2}）（J）$=32J；
（3）A物体滑上木板时速度为v=4m/s，A物体和木板有相对运动，故A物体受到向右的合外力为f1=μ2mg=2N，物体做加速度为2m/s2的匀减速运动；
木板和轨道间的最大静摩擦力f2=μ3（m+M）g=2N，故木板保持静止不动；
经过t3=0.5s后，A物体的速度减为3m/s，B物体滑上木板，A、B受到的合外力仍为滑动摩擦力f1=2N，方向向右，都做加速度为2m/s2的匀减速运动；
木板和轨道间的最大静摩擦力f3=μ3（2m+M）g=3N，木板受到的合外力F=2f1-f3=1N，方向向左，木板做加速度为1m/s2的匀加速运动；
当又经过t4=1s后，A速度为1m/s，B速度为2m/s，木板速度为1m/s；
之后，物体A和物体B保持相对静止，B的速度大于木板的速度，故B受到合外力为f1=2N，方向向右，物体B做加速度为2m/s2的匀减速运动；
木板和物体A保持相对静止，将木板和物体A当成一个整体，合外力为f3-f1=1N，方向向右，故木板和物体A做加速度为0.5m/s2的匀减速直线运动；
经过时间${t}_{5}=\frac{2}{3}s$后，A、B、木板的速度都为$\frac{2}{3}m/s$；
之后，三物体保持相对静止，合外力为f3，故三物体一起做加速度为1m/s2的匀减速运动，运动${t}_{6}=\frac{2}{3}s$后，物体速度为零；
故木板运动的总时间$t′={t}_{4}+{t}_{5}+{t}_{6}=\frac{7}{3}s$；
答：（1）每个物块在传送带abcd上运行的时间为0.5+0.2π（s）；
（2）传输A物块，电机所需提供的能量（不计传动机构的其他能量损耗）为32J；
（3）木板运动的总时间为$\frac{7}{3}s$．

点评 物体的运动学问题，一般先对物体进行受力分析求得合外力，然后应用牛顿第二定律求得加速度，即可由运动学规律求解．

练习册系列答案
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12．在科学的发展历程中，许多科学家做出了杰出的贡献．下列叙述符合历史事实的是（　　）
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B．开普勒总结出了行星运动的三大规律
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13．下列说法符合事实的是（　　）
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8．如图所示，一个长为2m、宽为1m粗细均匀的矩形线框，质量为m、电阻为R=5Ω，放在光滑绝缘的水平面上，一个边长为2m的正方形区域内，存在竖直向下的匀强磁场，其左边界在线框两长边的中点MN上．
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15．如图所示，在 y 轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷-2Q，在 x 轴上C点有点电荷+Q，且CO=OD，∠ADO=60°，下列判断正确的是（　　）
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B．图中磁铁N极远离A环时，A环被排斥，而后随磁铁运动
C．用磁铁的任意一磁极接近A环时，A环均被排斥
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10．质量为m的物体做自由落体运动，经过时间t落地．在物体下落的过程中，以下说法正确的是（　　）
A．下落过程中，重力的平均功率为$\frac{1}{2}$mg2t
B．下落过程中，重力的平均功率为mg2t
C．落地前瞬间，重力的瞬时功率为$\frac{1}{2}$mg2t
D．落地前瞬间，重力的瞬时功率为mg2t

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