Question

1．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方存在与y轴负方向成45°角的匀强电场，场强大小为E；在x轴下方存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现有一质量为m、电荷量为q的质子从y轴正半轴上的P点由静止释放，经电场加速后以速度v₀第一次进入磁场，不计质子重力，求：
（1）P点的纵坐标；
（2）质子第二次经过x轴时的横坐标．
（3）质子从P点释放到第三次经过x轴所用的时间．

Answer 1

分析 （1）电场力对带电粒子做功，W=qEd，$d=\sqrt{2}y$，
（2）带电粒子在磁场中运动的轨迹是$\frac{1}{4}$圆，$△x=\sqrt{2}r$；
（3）带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系，带电粒子做类平抛运动．

解答 解：（1）电场力对带电粒子做功等于粒子动能的变化，即：
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得：$d=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qE}$
又：$d=\sqrt{2}y$，
$d=\sqrt{2}{x}_{1}$
所以：$y=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{4qE}$；
${x}_{1}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{4qE}$
（2）带电粒子在磁场中运动的轨迹是$\frac{1}{4}$圆，如图，$△x=\sqrt{2}r$；
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，则：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
得：$△x=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
所以：${x}_{2}={x}_{1}+△x=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{4qE}+\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$
（3）带电粒子第一次在电场中时：$d=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{qE}{2m}•{t}_{1}^{2}$
解得：${t}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qE}$；
带电粒子在磁场中运动的周期：2πr=v•T，
运动的时间：${t}_{2}=\frac{T}{4}=\frac{πm}{2qB}$
带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系x′y′，带电粒子做类平抛运动如图．
则：x′=v₀t₃；
$y′=\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}=\frac{qE}{2m}•{t}_{3}^{2}$；
又：x′=y′；
解得：${t}_{3}=\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
质子从P点释放到第三次到达x轴所用的时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{3m{v}_{0}}{qE}+\frac{πm}{2qB}$
答：（1）P点纵坐标y的值$y=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{4qE}$；
（2）质子第二次经过x轴时的横坐标x的值$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{4qE}+\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（3）质子从P点释放到第三次到达x轴所用的时间为$\frac{3m{v}_{0}}{qE}+\frac{πm}{2qB}$．

点评 带电粒子的运动分别是匀加速直线运动、匀速圆周运动和类平抛运动，带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系x′y′来分析粒子的运动是解决该题的关键，要求有较强的分析问题的能力和知识的迁移能力．属于比较难的题目．