题目内容

6．在科学研究中，可以通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动．竖直平行正对放置的两金属板A、K间有电压为U的加速电场，S1、S2为A、K板上的两个小孔，且S1和S2在同一水平直线上，如图所示．质量为m、电荷量为q的粒子，从粒子源N右方的小孔S1不断飘入加速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔S2垂直于磁场方向进入匀强磁场控制区，粒子经磁场偏转后离开磁场并打在水平放置的感光胶片上，离开磁场时粒子束的等效电流为I，不考虑粒子重力及粒子间的相互作用．
（1）求在任意时间t内打在感光胶片上粒子的个数n；
（2）可在磁场控制区内的适当区域加一个磁感强度为B的匀强磁场，使粒子垂直打在感光胶片上，若此磁场仅分布在一圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径r；
（3）实际上加速电压的大小会在U±△U范围内微小变化，粒子以不同的速度进入磁场控制区，在磁场控制区内加一个磁感强度为B的有界匀强磁场，使粒子均能垂直打在感光胶片上，求有界磁场区域的最小面积S．

分析 （1）根据电流强度的定义式I=$\frac{Q}{t}$，求在任意时间t内打在感光胶片上粒子的个数n．
（2）粒子先加速电场加速，后进入磁场做匀速圆周运动．由动能定理求出加速得到的速度．粒子进入磁场后，由洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律求出轨迹半径．粒子在磁场中偏转四分之一周射出，射入点与射出点在磁场圆上，过这两点的圆有无数个，最小的圆是以这两点连线为直径的圆，由几何关系求出磁场圆的最小半径．
（3）由动能定理求出加速得到最小速率和最大速率，求出磁场中对应的最小半径和最大半径．粒子进入磁场，建立如图所示的直角坐标系，磁场的左、右边界为粒子最小、最大半径对应的四分之一圆周，下部分边界是y=x的一部分，如图所示阴影面积，即为有界磁场区域的最小面积S，由几何知识求解S．

解答 解：（1）根据电流强度的定义 I=$\frac{nq}{t}$ ①
则得任意时间t内打在感光胶片上粒子的个数  n=$\frac{It}{q}$ ②
（2）粒子在加速电场中加速时，由动能定理得 qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ③
粒子进入磁场后，由洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律得
 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   ④
粒子在磁场中偏转四分之一周射出，射入点与射出点在磁场圆上，过这两点的圆有无数个，最小的圆是以这两点连线为直径的圆，由几何关系可知，磁场区域圆的最小半径应满足 r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R ⑤
由①～⑤式解得 r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mU}{q}}$ ⑥
（3）粒子在加速电场中加速，由qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，可得
速率最小值 vmin=$\sqrt{\frac{2q（U-△U）}{m}}$ ⑦
速率最大值 vmax=$\sqrt{\frac{2q（U+△U）}{m}}$ ⑧
粒子进入磁场后做轨迹为四分之一圆周的运动，由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得
最大速率对应的半径 Rmin=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2m（U+△U）}{q}}$ ⑨
最小速率对应的半径  Rmax=$\frac{1}{B}$
$\sqrt{\frac{2m（U-△U）}{m}}$ （10）
粒子进入磁场，建立如图所示的直角坐标系，磁场的左、右边界为粒子最小、最大半径对应的四分之一圆周，下部分边界是y=x的一部分，如图所示阴影面积，即为有界磁场区域的最小面积，则
  S=（$\frac{1}{4}π{R}_{max}^{2}$-R${\frac{1}{2}R}_{max}^{2}$）-（$\frac{1}{4}π{R}_{min}^{2}$-$\frac{1}{2}{R}_{min}^{2}$） （11）
解得 S=（π-2）$\frac{m△U}{q{B}^{2}}$ （12）
答：
（1）在任意时间t内打在感光胶片上粒子的个数n为$\frac{It}{q}$；
（2）该圆形区域的最小半径r为$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mU}{q}}$．
（3）有界磁场区域的最小面积S为（π-2）$\frac{m△U}{q{B}^{2}}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的类型，由动能定理求出加速获得的速度，画出粒子磁场中运动的轨迹，运用几何知识求解面积，都是常用的思路，要加强训练，提高解题能力．

练习册系列答案
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