Question

3．如图所示，一个半径为R，可绕左端转轴O在竖直平面转动的半圆形轻质弯管，上面固定有两个质量相等的小球A，B，弯管的圆心为C，且AC⊥OB，且OB水平，若从图示位置静止释放，则A球运动到最低点时的速度大小为$\sqrt{\frac{4}{3}gR}$．

Answer 1

分析 在弯管运动的过程中，A、B组成的系统的机械能守恒，确定各点的重力势能的变化，以及A与B的速度之间的关系即可正确解答．

解答 解：则A球运动到最低点时的位置如图，可知A的重力势能减小2mgR，B的重力势能不变；
在弯管运动的过程中，A与B随弯管一起做圆周运动，速度的方向与AO、BO连线的方向垂直．
设弯管的角速度为ω，则A的线速度：${v}_{A}=ω•\overline{AO}=\sqrt{2}ωR$  ①
B点的线速度：${v}_{B}=ω•\overline{BO}=2ωR$  ②
在运动的过程中只有重力做功，A减少的机械能转化为A与B的动能，即：
$mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$  ③
联立以上公式，得：$ω=\sqrt{\frac{2g}{3R}}$，${v}_{A}=\sqrt{\frac{4}{3}gR}$
故答案为：$\sqrt{\frac{4}{3}gR}$

点评 该题中，A与B都是绕O点做圆周运动，所以A运动的半径是$\sqrt{2}$R，不是R．另外考虑到A与B随弯管一起运动，它们的角速度是相等的是解答的关键．