Question

13．2016年8月16日1时40分，我国在酒泉卫星发射中心成功将世界首颗量子卫星“墨子号”发射升空，在距离地面高度为h的轨道上运行．设火箭点火后在时间t内竖直向上匀加速飞行，匀加速过程的末速度为v，这一过程对应的质量为m，认为“墨子号”最终在轨道上做匀速圆周运动，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略时间t内火箭的质量变化，不考虑空气阻力的影响，下列说法正确的是（　　）

• A． 火箭竖直向上匀加速过程中的推力为$\frac{mv}{t}$
• B． 火箭竖直向上匀加速飞行的过程中克服重力做功的平均功率为$\frac{1}{2}$mgv
• C． 地球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$
• D． “墨子号”在最终轨道上绕地球运行的周期为$\frac{2π（R+h）}{R}$$\sqrt{\frac{R+h}{g}}$

Answer 1

分析 根据运动学公式求出加速度，由牛顿第二定律求出推力；根据$P=mg\overline{v}$求克服重力做功的平均功率；由重力等于万有引力求地球的质量，再根据$ρ=\frac{M}{V}$求地球的密度；“墨子号”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力求出周期

解答 解：A、火箭竖直向上匀加速过程的加速度$a=\frac{v}{t}$，根据牛顿第二定律F-mg=ma，得推力$F=mg+ma=mg+\frac{mv}{t}$，故A错误；
B、根据$P=F\overline{v}$，所以火箭竖直向上匀加速飞行过程中克服重力做功的平均功率$P=mg•\overline{v}=mg•\frac{v}{2}=\frac{1}{2}mgv$，故B正确；
C、根据mg=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得地球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，地球的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πGR}$，故C正确；
D、“墨子号”最终稳定时轨道半径R+h，根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$，故D正确；
故选：BCD

点评 本题关键是抓住万有引力等于重力，万有引力提供向心力，由万有引力定律及牛顿第二定律可以正确解题．