Question

18．在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，已知打点计时器所用的电源频率为50Hz，查得当地的重力加速度为g=9.80m/s²，测得所用重物的质量为1.00kg，实验中得到一条点迹清晰的纸带如图1所示，把第一个点记作O，另选取连续的4个点A、B、C、D作为测量的点，经测量知道A、B、C、D各点到O点的距离分别为63.19cm、70.38cm、77.96cm、85.93cm．
（1）根据以上数据，可知重物由O点运动到C点，重力势能的减少量等于7.64　J，动能的增加量等于7.56　J．（结果取三位有效数字）
（2）若应用公式v=gt计算即时速度进行验证，在如图2所示的甲、乙两条实验纸带中，应选甲纸带好．
（3）若通过测量纸带上某两点间距离来计算即时速度，进行验证，设已测得点2到4间距离为x₁，点0到3间距离为x₂，打点周期为T，为验证重物开始下落到打点计时器打下点3这段时间内机械能守恒，实验后若验证结论为守恒，则x₁、x₂和T应满足的关系为：T=T=$\sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}}{8{gx}_{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）纸带实验中，若纸带匀变速直线运动，测得纸带上的点间距，利用匀变速直线运动的推论，可计算出打出某点时纸带运动的瞬时速度，从而求出动能，根据功能关系得重力势能减小量等于重力做功的数值．
（2）根据自由落体运动规律得出打出的第一个点和相邻的点间的距离进行选择；
（3）纸带实验中，若纸带匀变速直线运动，测得纸带上的点间距，利用匀变速直线运动的推论，可计算出打出某点时纸带运动的瞬时速度．从而求出动能．根据功能关系得重力势能减小量等于重力做功的数值．

解答 解：（1）重力势能减小量△E_p=mgh=1.0×9.8×0.7796J=7.64J．
利用匀变速直线运动的推论得：
v_C=$\frac{0.8593-0.7038}{2×0.02}$=3.89m/s
△E_k=E_kC=$\frac{1}{2}$mv_C²=$\frac{1}{2}×1×$（3.89）²=7.56J
（2）打点计时器的打点频率为50 Hz，打点周期为0.02 s，重物开始下落后，在第一个打点周期内重物下落的高度：
h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}$gT²=$\frac{1}{2}$×9.8×0.02² m≈2 mm
所以所选的纸带最初两点间的距离接近2 mm，故选甲图
（3）利用匀变速直线运动的推论
打点3时的速度v=$\frac{{x}_{1}}{2T}$，
重物下落的高度h=s₂，当机械能守恒时，应有：$\frac{1}{2}$m${（\frac{{x}_{1}}{2T}）}^{2}$=mgs₂，
由此得：T=$\sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}}{8{gx}_{2}}}$．
故答案为：（1）7.64；7.56
（2）甲
（3）T=$\sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}}{8{gx}_{2}}}$

点评 纸带问题的处理时力学实验中常见的问题，对于这类问题要熟练应用运动学规律和推论进行求解，计算过程中要注意单位的换算和有效数字的保留．