Question

9．如图甲所示，空间存在B=0.5T，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是相互平行的粗糙的长直导轨，处于同一水平面内，其间距L=0.2m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m=0.1kg的导体棒，从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做直线运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是棒的速度-时间图象，其中OA段是直线，AC段是曲线，DE是曲线图象的渐近线，小型电动机在12s末达到额定功率P=4.5W，此后功率保持不变，除R以外，其余部分的电阻均不计，g=10m/s²
（1）求导体棒在0～12s内的加速度大小；
（2）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ及电阻R的阻值；
（3）若t=17s时，导体棒ab达最大速度，且0～17s内共发生位移100m，试求12～17s内R上产生的热量Q以及通过R的电荷量q．

Answer 1

分析 （1）导体棒在0-12s内做匀加速运动，由图象的斜率求解加速度．
（2）乙图中A点：由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL推导出安培力的表达式，由牛顿第二定律得到含μ和R的表达式；图中C点：导体棒做匀速运动，由平衡条件再得到含μ和R的表达式，联立求出μ和R．
（3）由图象的“面积”求出0-12s内导体棒发生的位移，0-17s内共发生位移100m，求出AC段过程发生的位移，由能量守恒定律求解12-17s内R上产生的热量，再由q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}t$=$\frac{△∅}{R}$，求解电量大小．

解答 解：（1）由图中可得12s末的速度为：v₁=9m/s，t₁=12s
导体棒在0.12s内的加速度大小为：a=$\frac{{v}_{1}-0}{{t}_{1}}$=0.75m/s²．
（2）设金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ．当金属棒的速度为v时，安培力大小为F，则有：
F=BIL，
I=$\frac{BLv}{R}$
得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
A点：由牛顿第二定律得：F₁-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=ma₁
又P_额=F₁v₁．
C点：棒达到最大速度，则此时加速度为零，依据牛顿第二定律，则有：
F₂-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=0
P_额=F₂v_m．
联立解得：μ=0.2，R=0.4Ω
（3）0-12s内导体棒发生的位移为：s₁=$\frac{1}{2}$×9×12m=54m，
AC段过程棒发生的位移为：s₂=100-s₁=46m
由能量守恒得：P_额t=Q_R+μmgs₂+（$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$）
代入数据解得：Q_R=12.35J
再依据电量综合表达式为：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}t$=$\frac{△∅}{R}$，
代入数据解得：q=11.5C；
 答：（1）导体棒在0～12s内的加速度大小0.75m/s²；
（2）导体棒与导轨间的动摩擦因数0.2及电阻R的阻值0.4Ω；
（3）在12～17s内R上产生的热量12.35J以及通过R的电荷量11.5C．

点评 本题与力学中汽车匀加速起动类似，关键要推导安培力的表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒结合进行求解，同时掌握电量的综合表达式的内容．