Question

13．（多选）用m表示地球的通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度．ω表示地球自转的角速度．则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为（　　）

• A． G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$
• B． $\frac{mg{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$
• C． mω²（R+h）
• D． m$\root{3}{{R}^{2}g{ω}^{4}}$

Answer 1

分析 地球的同步卫星的轨道半径为r=R+h．根据地球的半径和地球表面的重力加速度，由重力等于万有引力，可求出地球的质量．地球同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，轨道平面必须与赤道平面重合．由向心力公式求解向心力．

解答 解：地球同步卫星的角速度与地球的自转的角速度ω相同，轨道半径为r=R+h，则根据向心力公式得：
地球对卫星的引力大小为 F=mω²（R+h）．
该卫星所受地球的万有引力为 F=G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$
在地球表面有 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得到GM=gR²，联立得 F=$\frac{mg{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$．
由 F=mω²（R+h）=$\frac{mg{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，得h+R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{ω{\;}^{2}}}$
所以可得  F=mω²（R+h）=mω²$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{ω{\;}^{2}}}$=m$\root{3}{{R}^{2}g{ω}^{4}}$．
故选：BCD

点评 本题为卫星运动的典型题型，抓住万有引力等于向心力、万有引力等于重力，再根据向心力的基本公式求解，解题过程中要注意黄金代换式的应用．