Question

20．如图所示，半径r₁=$\frac{2}{5}$$\sqrt{2}$m的圆弧轨道AB 与水平轨道BC 相切于B 点，CD为r₂=0.40m 的半圆轨道，另一半径R=1.00m 的圆弧轨道EF 与CD 靠近，E 点略低于D 点．一质量m=1kg 的小物块（可视为质点）从A 点以初速度v₀=2m/s 沿轨道下滑，在AB 段运动过程中始终受到竖直向上F=10N 的力作用，进入BC 段后撤去．已知AB 高度为h，BC 长L=1.00m，小物块与BC 间动摩擦因数μ=0.2，其余光滑，EF 轨道对应的圆心角θ=60°，所有轨道均固定在同一竖直平面内，不考虑小物块在各轨道相接处的能量损失，忽略空气阻力，g 取10m/s²，求：

（1）当小物块在圆弧轨道AB运动到B点时，轨道对小物块的作用力大小；
（2）若小物块在B点的速度为5m/s，且在刚进入BC段时撤去力F，请通过计算判断小物块能否通过D 点；
（3）若小物块能进入EF轨道，且不越过F 点，小物块在D点的速度范围是多少？

Answer 1

分析 （1）从A到B，运用动能定理求出物块到达B点的速度，在B点，运用牛顿第二定律和向心力公式求出轨道对小物块的作用力大小．
（2）假设物块能运动到D点，对B到D的过程，运用动能定理求出物块到达D点的速度，与临界速度比较，分析假设是否正确，从而作出判断．
（3）若小物块能进入EF轨道，且不越过F 点，运动到F点时，在D点的速度最大，由动能定理求解．

解答 解：（1）从A到B，由动能定理得：
mgh-Fh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：v_B=2m/s
在B点，由牛顿第二定律得：
F+N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{r}_{1}}$
代入数据解得：N=5$\sqrt{2}$N
（2）假设小物块能从B到D，由动能定理得：
-2mgr₂-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：v_D=$\sqrt{5}$m/s
若小物块恰好过D点，有：mg=m$\frac{v{′}_{D}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：v′_D=$\sqrt{g{r}_{2}}$=2m/s
因为v_D＞v′_D，所以小物块能通过D点．
（3）小物块恰好到F点，从E到F，由动能定理得：
-mgR（1-cosθ）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
代入数据解得：v_E=$\sqrt{10}$m/s
所以小物块在D点的速度范围是：2m/s≤v_D≤$\sqrt{10}$m/s
答：（1）当小物块在圆弧轨道AB运动到B点时，轨道对小物块的作用力大小是5$\sqrt{2}$N；
（2）小物块能通过D 点；
（3）若小物块能进入EF轨道，且不越过F 点，小物块在D点的速度范围是2m/s≤v_D≤$\sqrt{10}$m/s．

点评 理清物块的运动情况，抓住每个过程和状态的物理规律是关键．第1问，也可以根据F=mg，判断出物块在AB段做匀速圆周运动，确定出物块通过B点的速度．