Question

15．如图所示，在半径分别为r和2r的同心圆（圆心在O点）所形成的圆环区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．在大圆边界上A点有一粒子源，垂直AO向左发射一质量为m，电荷量为+q，速度大小$\frac{qBr}{m}$的粒子．求：
（1）若粒子能进入磁场发生偏转，则该粒子第一次到达磁场小圆边界时，粒子速度相对于初始方向偏转的角度；
（2）若粒子每次到达磁场大圆边界时都未从磁场中射出，那么至少经过多长时间该粒子能够回到出发点A．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动规律，由几何知识求出粒子的偏角．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，应用牛顿第二定律与粒子的周期公式可以求出粒子运动时间．

解答 解：（1）如图1所示，粒子做匀速圆周运动，设初速度为v₀，
轨迹半径为R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=r，如图所示：

粒子将沿着AB弧（圆心在O₁）运动，
交内边界于B点．△OO₁B为等边三角形，则∠BO₁O=60°，粒子的轨迹AB弧对应的圆心角为∠BO₁A=120°，
则速度偏转角为120°．
（2）粒子从B点进入中间小圆区域沿直线BC运动，又进入磁场区域，
经偏转与外边界相切于D点．在磁场中运动的轨迹如图所示，

粒子在磁场区域运动的时间：t₁=3×$\frac{\frac{4}{3}π}{2π}$×T=2T，周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
每通过一次无磁场区域，粒子在该区域运动的距离：l=2rcos30°=$\sqrt{3}$r，
粒子在无磁场区域运动的总时间：t₂=$\frac{3l}{{v}_{0}}$，
代入：v₀=$\frac{qBr}{m}$，解得：t₂=$\frac{3\sqrt{3}m}{qB}$，
则粒子回到A点所用的总时间：t=t₁+t₂=$\frac{（4π+3\sqrt{3}）m}{qB}$；
答：（1）粒子速度相对于初始方向偏转的角度为120°；
（2）若粒子每次到达磁场大圆边界时都未从磁场中射出，那么至少经过时间$\frac{（4π+3\sqrt{3}）m}{qB}$该粒子能够回到出发点A．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程，应用牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式即可正确解题．