Question

如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m_A、m_B．
（1）求B的周期和速率．
（2）A受B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′．（用m_A、m_B表示）（　　）

Answer 1

分析：双星系统构成的条件是双星的角速度相同，依靠它们之间的万有引力提供各自的向心力．由于两星球的加速度不同，必须采用隔离法运用牛顿定律分别对两星球研究，并通过数学变形求解．

解答：解：（1）双星是稳定的结构，故公转周期相同，故B的周期也为T．
设A、B的圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，其为ω．
由牛顿运动定律：
对A：F_A=m₁ω²r₁
对B：F_B=m₂ω²r₂ F_A=F_B
设A、B之间的距离为r，又r=r₁+r₂，由上述各式得：
r1=

m2

m1+m2

r
r2=

m1

m1+m2

r
故

vA

vB

=

r1

r2

（其中v_A=v）
解得：v_B=

m1

m2

v
（2）由于r1=

m2

m1+m2

r，故r=

m1+m2

m2

r1    ①
恒星AB间万有引力为：F=G

m1m2

r2

；
将①式代入得到：F=

Gm1 m 3 2

(m1+m2)2 r 2 1

      ②
A受B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则有：F=

Gm1m′

r 2 1

      ③
由②③联立解得：m′=

m 3 2

(m1+m2)2

答：（1）B的周期为T，速率为

m1

m2

v．
（2）A受B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，m′为

m 3 2

(m1+m2)2

．

点评：对于天体运动问题关键要建立物理模型．双星问题与人造地球卫星的运动模型不同，两星都绕着它们之间连线上的一点为圆心做匀速圆周运动，双星、圆心始终“三点”一线．