题目内容
6．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0．
①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值$\frac{F_1}{F_0}$的表达式，并就h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值$\frac{F_2}{F_0}$的表达式．
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
分析 （1）根据万有引力等于重力得出比值$\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{0}^{\;}}$的表达式，并求出具体的数值．
在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值$\frac{{F}_{2}^{\;}}{{F}_{0}^{\;}}$的表达式
（2）根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，从而进行判断．
解答 解：（1）设物体的质量为m
①在北极地面 ${F_0}=\frac{GMm}{R^2}$
在北极上空高出地面h处 ${F_1}=\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}$
$\frac{F_1}{F_0}=\frac{R^2}{{{{（R+h）}^2}}}$
当 h=1.0%R时 $\frac{F_1}{F_0}=\frac{1}{{{{（1+0.01）}^2}}}≈0.98$
②在赤道地面，物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的拉力，有 $\frac{GMm}{R^2}-{F_2}=\frac{{m4{π^2}}}{T^2}R$
联立可得：$\frac{F_2}{F_0}=1-\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{GM{T^2}}}$
（2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力．设太阳的质量为Ms，太阳的半径为Rs，地球质量为M，地球公转周期为TE，则$\frac{{G{M_s}M}}{r^2}=\frac{{M4{π^2}}}{T_E^2}r$得 ${T_E}=\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{M_s}}}}=\sqrt{\frac{3π}{Gρ}{{（\frac{r}{R_s}）}^3}}$
其中，ρ为太阳的密度．由上式可知：地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径和太阳半径之比有关．因此，“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．
答：（1）①比值$\frac{F_1}{F_0}$的表达式$\frac{{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$，并就h=1.0%R的情形算出具体数值0.98
②比值$\frac{F_2}{F_0}$的表达式$1-\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM{T}_{\;}^{2}}$
（2）计算“设想地球”的地球公转周期不变．仍然为1年．
点评 解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
| A． | $\frac{v_0^2}{8g}$ | B． | $\frac{v_0^2}{4g}$ | C． | $\frac{v_0^2}{2g}$ | D． | $\frac{v_0^2}{g}$ |
如图所示，斜面倾角为θ，从斜面的P点分别以v0和2v0的速度水平抛出A、B两个小球，不计空气阻力，若两小球均落在斜面上且不发生反弹，则（ ）| A． | A、B两球的水平位移之比为1：2 | |
| B． | A、B两球飞行时间之比为1：2 | |
| C． | A、B下落的高度之比为1：2 | |
| D． | A、B两球落到斜面上的速度大小之比为1：2 |
内汽车前进的距离．
如图所示，轻绳悬挂一个质量为m的小球，欲再施一个力F，使小球在图示位置静止，这时绳与竖直方向成θ角．