Question

11．如图所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则：
（1）当线绳与AB成θ角时，圆环移动的距离是多少？
（2）求小球运动到最低点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）在小球向下摆动的过程中，虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等），系统的动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒．用位移与时间之比表示速度，根据水平方向动量守恒和几何关系列式求解．
（2）根据系统水平方向的动量守恒和机械能守恒分别列式，联立可求小球运动到最低点时的速度大小．

解答 解：（1）虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等），系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒．设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v，圆环的水平速度为V，取水平向右为正方向，由水平动量守恒有：
MV-mv=0
且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系，加之时间相同，公式中的V和v可分别用其水平位移替代，则上式可写为：
Md-m[（L-Lcosθ）-d]=0
解得圆环移动的距离：d=$\frac{mL（1-cosθ）}{M+m}$
（2）设小球运动到最低点时，圆环和小球的速度大小分别为v₁和v₂．根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒得：
0=Mv₁+mv₂；
mgL=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²；
联立解得：v₂=$\sqrt{\frac{2MgL}{m+M}}$
答：（1）当线绳与AB成θ角时，圆环移动的距离是$\frac{mL（1-cosθ）}{M+m}$．
（2）小球运动到最低点时的速度大小是$\sqrt{\frac{2MgL}{m+M}}$．

点评 解决本题的关键要明确系统水平方向的动量守恒，能用位移表示出速度，不过要注意位移的参考系必须是地面．