Question

6．我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，用十年左右时间完成．据悉，我国探月工程设想为三期，简称为“绕、落、回”三步走，在2020年前后完成．目前已进行了第二步．
嫦娥三号探测器于2013年12月2日在中国西昌卫星发射中心成功发射，它的任务是在月球上着陆，并对月球进行科学探测．卫星发射后，先绕地球转3圈，轨道是椭圆轨道，近地点是200km．之后经调速进入月地转移轨道，接近月球时经过三次制动，使其被月球俘获，成为月球卫星，发动机正常关机，“嫦娥三号”进入距月表面约200公里圆轨道．北京时间2013年12月9日，在北京航天飞行控制中心的控制下，“嫦娥三号”卫星主发动机点火成功制动，经过减速阶段，最终成功降落在月球表面，释放月球探测车，开始了对月球的探测工作．
设月球半径为R，嫦娥三号绕月球的轨道半径为r，运动周期为T，引力常数为G，且把它绕月球的运动近似看做是匀速圆周运动．试根据以上已知量，求：
（1）月球的质量；
（2）在某次成功在月球表面上着陆后，一位宇航员拿出一小球，并以一定的初速度V₀竖直向上抛出，请问经多长时间小球落回月球表面处？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力列式求出月球质量
（2）根据重力等于万有引力求出月球表面的重力加速度，再运用竖直上抛运动的规律求时间

解答 解：（1）设月球质量为M，则：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得月球质量为：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）月球表面的万有引力近似等于重力，可以求得月球表面的重力加速度．
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
月球表面的重力加速度为：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$
在月球上以${v}_{0}^{\;}$上抛的小球到最高点的时间为${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{g}$
所求的时间为：$t=2{t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$
$t=\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$
答：（1）月球的质量$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）经过时间$\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$小球落回月球表面处

点评 本题关键是要抓住卫星所受的万有引力提供向心力进行列式求解，星球表面处物体的重力等于万有引力，求得重力加速度，运用竖直上抛运动的知识求出时间．