Question

14．如图所示，两根电阻不计的相同平行金属直导轨竖直放置，轨道间距为2L，轨道上端接一定值电阻，阻值为R，下端固定在绝缘的水平面上，一轻质弹簧固定在地面上和两侧轨道距离相等，MNQP区域有垂直于导轨平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，将质量为m，电阻不计的金属杆ab套在轨道两侧，从距PQ为2L的位置由静止释放，由于两侧挤压杆滑动过程中受到的总摩擦力大小f=$\frac{1}{4}$mg，已知ab杆下滑过程中离开磁场前已经匀速，ab杆离开磁场后下滑到距MN为L时弹簧压缩到最短，然后反弹沿导轨向上运动到PQ时速度恰好为零．不计空气阻力，重力加速度为g，在上述过程中，求：
（1）ab杆向下刚进入磁场时的速度v₀大小是多少？
（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能E_p是多少？
（3）ab杆向下运动的过程和向上运动的过程中电阻R所产生的热量之差△Q是多少？

Answer 1

分析 （1）ab下滑过程中，根据动能定理求解刚进入磁场时的速度v₀大小；
（2）金属杆匀速时，根据共点力的平衡条件结合法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律求解匀速运动的速度，从出磁场到弹簧压到最短过程中，根据功能关系求解弹簧被压缩到最短时的弹性势能E_p；
（3）根据功能关系求解下滑过程中电阻产热为Q₁和上滑过程中电阻产热为Q₂，由此求解电阻R所产生的热量之差△Q．

解答 解：（1）ab下滑过程中，根据动能定理可得：
$mg•2L-f•2L=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v_0}=\sqrt{3gL}$；
（2）金属杆匀速时，设速度为v₁
根据共点力的平衡条件可得：mg=f+F
而安培力F=2BIL
解得$I=\frac{E}{R}$
根据电动势的计算公式可得：E=2BLv₁
联立解得：${v_1}=\frac{3mgR}{{16{B^2}{L^2}_{\;}}}$
从出磁场到弹簧压到最短过程中，根据功能关系可得：$mgL+\frac{1}{2}mv_1^2=fL+{E_p}$
解得：${E_p}=\frac{3}{4}mgL+\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{512{B^4}{L^4}}}$；
（3）下滑过程中电阻产热为Q₁，则：$mg•3L=\frac{1}{2}mv_1^2+{Q_1}+f•3L$
${Q_1}=\frac{9}{4}mgL-\frac{1}{2}mv_1^2$
上滑过程中电阻产热为Q₂，则：E_p=Q₂+2mgL+2fL
解得${Q_2}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{7}{4}mgL$
所以热量之差：$△Q={Q_1}-{Q_2}=4mgL-\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{256{B^4}{L^4}}}$．
答：（1）ab杆向下刚进入磁场时的速度v₀大小是$\sqrt{3gL}$；
（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能E_p是$\frac{3}{4}mgL+\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{512{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）ab杆向下运动的过程和向上运动的过程中电阻R所产生的热量之差△Q是$4mgL-\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{256{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下物体的平衡问题；另一条是能量，分析电磁感应现象中的能量如何转化是关键．