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精英家教网如图（a）所示，两根足够长的平行光滑导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面的夹角为α，导轨电阻不计，整个导轨放在垂直导轨平面向上的匀强磁场中．长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m．两金属导轨的上端与右端的电路连接，R是阻值可调的电阻箱，其最大值远大于金属棒的电阻值．将金属棒由静止释放，当R取不同的值时，金属棒沿导轨下滑会达到不同的最大速度vm，其对应的关系图象如图（b）所示，图中v0、R0为已知，重力加速度取g．请完成下列问题：
（1）匀强磁场的磁感应强度为多少？
（2）金属棒的电阻值为多少？
（3）当R=R0时，由静止释放金属棒，在金属棒加速运动的整个过程中，通过R的电量为q，求在这个过程中R上产生的热量为多少？
（4）R取不同值时，R的电功率的最大值不同．有同学认为，当R=R0时R的功率会达到最大．如果你认为这种说法是正确的，请予以证明，并求出R的最大功率；如果你认为这种说法是错误的，请通过定量计算说明理由．
分析：（1）金属棒下滑达到最大速度时做匀速运动，由平衡条件和安培力求得B．
（2）图象横轴截距大小等于R0．
（3）由q=
△Φ
R+r
求出金属棒下滑的距离S，根据能量守恒定律求出热量．
（4）推导功率的表达式判断正误．
解答：解：设金属棒ab的电阻为r
（1）由FA=BIL，I=
E
R+r
，E=BLvm，得到FA=
B2L2vm
R+r
 
   由力平衡得 FA=mgsinα
     得vm=
mg(R+r)sinα
B2L2

    由图线斜率为
v0
R0
=
mgsinα
B2L2

    可求得 B=
mgR0sinα
L2v0
 
（2）由图线在横轴上的截距可求得r=R0
（3）当R=R0时，vm=2v0
  由q=I△t=
△Φ
△t(R+R0)
=
△Φ
2R0
=
BLs
2R0

     可得s=
2qR0
BL

   Q=
1
2
（mgsinαs-
1
2
mvm2）=
1
2
mgsinα
2qR0
BL
-mv02=q
mgR0v0sinα
-mv02
（4）这种说法错误．
    R的最大值电功率：P=I2R=
m2g2sin2α
B2L2
R
    因为
m2g2sin2α
B2L2
是恒量，故P∝R
  所以，P随R增大而增大，无最大值．
点评：本题是电磁感应与力学的综合题，常常用到两个经验公式：安培力F安=
B2L2v
R+r
和感应电量q=n
△Φ
R+r
．
练习册系列答案
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如图（a）所示，两根足够长的光滑水平金属导轨相距为L=0.40m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端和下端通过导线分别连接阻值R1=R2=1.2Ω的电阻，质量为m=0.20kg、阻值r=0.20Ω的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好的接触，整个装置处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B=1T．现通过小电动机对金属棒施加拉力，使金属棒沿导轨向上做匀加速直线运动，0.5S时电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变，经足够长时间后，金属棒到达最大速度5.0m/S．此过程金属棒运动的v-t图象如图（b）所示，试求：（取重力加速度g=10m/s2）
（1）电动机的额定功率P
（2）金属棒匀加速时的加速度a的大小
（3）在0～0.5s时间内电动机牵引力F与速度v的关系．
（2011?黄浦区一模）如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为l，导轨平面与水平面成θ角，下端通过导线连接的电阻为R．质量为m、阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并始终保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁场中．
（1）若金属棒距导轨下端距离为d，磁场随时间变化的规律如图（b）所示，为保持金属棒静止，求加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系．
（2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B′，通过额定功率Pm的小电动机对金属棒施加沿斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，经过时间t1电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v-t图象如图（c）所示．求磁感应强度B′的大小．
（3）若金属棒处在某磁感应强度大小恒定的磁场中，运动达到稳定后的速度为v，在D位置（未标出）处突然撤去拉力，经过时间t2棒到达最高点，然后沿轨道返回，在达到D位置前已经做匀速运动，其速度大小为
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v，求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度．
（2008?普陀区一模）如图（a）所示，两根足够长的水平平行金属导轨相距为L=0.5m，其右端通过导线连接阻值R=0.6Ω的电阻，导轨电阻不计，一根质量为m=0.2kg、阻值r=0.2Ω的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5．整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，取g=10m/s2．若所加磁场的磁感应强度大小恒为B，通过小电动机对金属棒施加水平向左的牵引力，使金属棒沿导轨向左做匀加速直线运动，经过0.5s电动机的输出功率达到P=10W，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v～t图象如图（b）所示，试求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）在0～0.5s时间内金属棒的加速度a的大小；
（3）在0～0.5s时间内电动机牵引力F与时间t的关系；
（4）若在0～0.3s时间内电阻R产生的热量为0.15J，则在这段时间内电动机做的功．
（2008?东莞模拟）如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为L，导轨平面与水平面成θ角，上端通过导线连接阻值为R的电阻，阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，整个装置处在垂直导轨平面向上的磁场中，若所加磁场的磁感应强度大小恒为B，使金属棒沿导轨由静止向下运动，金属棒运动的v-t图象如图（b）所示，当t=t0时刻，物体下滑距离为s．已知重力加速度为g，导轨电阻忽略不计．试求：
（1）金属棒ab匀速运动时电流强度I的大小和方向；
（2）导体棒质量m；
（3）在t0时间内电阻R产生的焦耳热．
精英家教网如图（a）所示，两根足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨相距为L=1m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端连接R=1.5?的电阻；质量为m=0.2kg、阻值r=0.5?的金属棒ab放在两导轨上，距离导轨最上端为d=4m，棒与导轨垂直并保持良好接触．整个装置处于匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度大小随时间变化的情况如图（b）所示，前4s内为B=kt．前4s内，为保持ab棒静止，在棒上施加了一平行于导轨平面的外力F，已知当t=2s时，F恰好为零．求：
（1）k；
（2）t=3s时，电阻R的热功率PR；
（3）前4s内，外力F随时间t的变化规律；
（4）从第4s末开始，外力F拉着导体棒ab以速度v沿斜面向下作匀速直线运动，且F的功率恒为P=6W，求v的大小．

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