Question

如图（a）所示，两根足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨相距为L=1m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端连接R=1.5?的电阻；质量为m=0.2kg、阻值r=0.5?的金属棒ab放在两导轨上，距离导轨最上端为d=4m，棒与导轨垂直并保持良好接触．整个装置处于匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度大小随时间变化的情况如图（b）所示，前4s内为B=kt．前4s内，为保持ab棒静止，在棒上施加了一平行于导轨平面的外力F，已知当t=2s时，F恰好为零．求：
（1）k；
（2）t=3s时，电阻R的热功率P_R；
（3）前4s内，外力F随时间t的变化规律；
（4）从第4s末开始，外力F拉着导体棒ab以速度v沿斜面向下作匀速直线运动，且F的功率恒为P=6W，求v的大小．

Answer 1

分析：（1）在0～4s内，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得到电流的表达式．根据ab棒静止，受力平衡，t=0时刻F=0，列式求k；
（2）结合上题的结果求出t=3s时电路中的电流I，由公式P=I²R求电阻R的热功率P_R；
（3）根据F=BIL求出安培力，利用棒子的受力平衡求出外力F的大小和方向．
（4）根据从第4s末开始，外力F拉着导体棒ab以速度v沿斜面向下作匀速直线运动，合力为零，由P=Fv求外力F，由平衡条件列式，求v．

解答：解：（1）在0～4s内，由法拉第电磁感应定律得：
回路中产生的感应电动势为 ?=

△Φ

△t

=

△B

△t

Ld=kLd      
感应电流为 I=

?

R+r

=

kLd

R+r

               
当t=2s时，F=0，由ab棒静止有
  mgsinθ=ktIL=

k2tL2d

R+r

                    
∴k=

mg(R+r)sinθ tL2d

=

0.2×10×(1.5+0.5)×0.5 2×12×4

=0.5（T/s）      
（2）前4s内，I=

?

R+r

=

kLd

R+r

=

0.5×1×4

1.5+0.5

A=1A                   
∴t=3s时，电阻R的热功率P_R=I²R=1²×1.5W=1.5W                                  
（3）设沿斜面向上为F的正方向，则由ab棒受力平衡得
  F+F_A=mgsinθ
而 安培力 F_A=BIL=ktIL
∴F=mgsinθ-kILt=（0.2×10×0.5-0.5×1×1t）N=（1-0.5t）N    
（4）从第4s末开始，B=kt=2T，且不变，?=BLv，I=

?

R+r

=

BLv

R+r

则有 

p

v

+mgsinθ=BIL                                          
得：v=2m/s                                                 
答：
（1）k为0.5T/s；
（2）t=3s时，电阻R的热功率P_R为1.5W．
（3）前4s内，外力F随时间t的变化规律是（1-0.5t）N；
（4）v的大小为2m/s．

点评：本题是电磁感应与力学知识、电路等知识的综合，解决本题的关键掌握法拉第电磁感应定律E=n

△φ

△t

=n

△B

△t

S、导体棒切割产生的感应电动势E=BLv、安培力公式F=BIL和平衡条件．