Question

10．相距甚远的两颗行星A与B的表面附近各发射一颗卫星a和b，测得卫星a绕行星A的周期为T_a，卫星b绕行星B的周期为T_b，这两颗行星的密度之比ρ_A：ρ_B为（　　）

• A． $\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{{T}_{a}^{2}}{{T}_{b}^{2}}$
• B． $\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{{T}_{b}^{2}}{{T}_{a}^{2}}$
• C． $\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{{T}_{a}^{3}}{{T}_{b}^{3}}$
• D． $\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{{T}_{b}^{3}}{{T}_{a}^{3}}$

Answer 1

分析 此题要求要熟练的掌握万有引力公式和向心力的各个表达式，根据条件选择合适的公式，该题给了运动的周期，我们要选万有引力的公式和m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r进行联立，推导出表示天体的质量M的式子，再根据密度的公式ρ=$\frac{M}{V}$可表示出天体的密度．

解答 解：由万有引力定律的公式和向心力公式有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
那么ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$ （R为天体的半径）
当卫星沿天体表面绕天体运行时，r=R
则有：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
则会推导出ρ_A：ρ_B=T_b²：T_a²，故B正确，ACD错误；
故选：B．

点评 应用万有引力定律分析天体的运动的基本方法是：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算．