Question

9．有7个完全相同的金属框，表面涂有绝缘层．如图所示，A是一个框，B是两个框并列捆在一起，C是两个框上下叠放捆在一起，D是两个框前后叠放捆在一起．将他们同时从同一高度由静止释放，穿过水平向里的匀强磁场，最后落到水平地面．关于金属框的运动，以下说法正确的是（　　）

• A． D最先落地
• B． C最后落地
• C． A、B、D同时落地
• D． B最后落地

Answer 1

分析 设金属框的质量为m，边长为L，刚刚进入磁场时的速度为v，然后写出电动势和感应电流的表达式，和安培力的表达式，最后结合运动学的公式分析比较AB、B、D金属框的运动情况即可．而C金属框与BD金属框的比较，需要使用动量定理，结合运动的过程进行分析．

解答 解：设每一个金属框的质量为m，边长为L，电阻值为R，刚刚进入磁场时的速度为v，则：单个的金属框产生的感应电动势：E=BLv
感应电流：I=$\frac{E}{R}$
受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
金属框在进入磁场时受到重力和安培力的作用，以向下为正方向，则其加速度：
a=$\frac{mg-F}{m}=g-\frac{F}{m}$
B是两个框并列捆在一起，总质量是2m，进入磁场时受到的安培力是2F，所以加速度：
${a}_{B}=\frac{2mg-2F}{2m}=g-\frac{F}{m}=a$；
C是两个框上下叠放捆在一起，总质量是2m，但进入磁场时受到的安培力是F，所以加速度：
${a}_{C}=\frac{2mg-F}{2m}=g-\frac{F}{2m}$
D是两个框前后叠放捆在一起，总质量也是2m，进入磁场时受到的安培力也是2F，所以加速度：a_D=a；
由以上的分析可知，A、B、D三个金属框在进入磁场的过程中的加速度相等，所以运动的情况是完全相同的，所以ABD三个金属框同时落地．
设金属框进入磁场的时间为△t，平均电动势为$\overline{E}$，则流过金属框任意截面的电量q：
$q=\overline{I}t=\frac{\overline{E}}{R}•△t=\frac{BL•\overline{v}}{R}△t=\frac{B{L}^{2}}{R}$
每一个金属框受到的安培力产生的冲量：${I}_{冲}=\overline{F}△t=B\overline{I}L•△t=BL•q$=$\frac{{B}^{2}{L}^{3}}{R}$
可知在金属框进入磁场的过程中安培力产生的总冲量与下降的高度无关，与金属框进入磁场的速度大小也无关．
但是，由于在四个金属框刚刚进入磁场时，C受到的安培力是B、D金属框的一半，所以安培力的冲量比较小，所以在进磁场的最初的一段时间内，C受到的安培力的冲量小，根据动量定理可知，金属框进磁场的一段时间内C向下的速度大，一直到C全部进入磁场的高度的位置时，BCD的速度才重新相等．所以在这一段的时间的位移内C的时间比较小．所以C一定是最早落地．
综上所述，只有C选项正确．
故选：C

点评 该题考查几种不同的情况下金属框进入磁场的过程中受到的安培力的情况，对金属框C的分析以及对C于BD的比较是解答的难点，使用动量定理是解答的最佳的方式，要尽量避免进入死胡同或走弯路．