Question

11．甲、乙两个物体均做单向直线运动，路程相同，甲前一半时间内以速度v₁匀速直线运动，后一半时间内以速度v₂匀速直线运；乙前一半位移以速度v₁匀速直线运动，后一半位移以速度v₂匀速直线运动．v₁≠v₂，则：
（1）甲、乙整个过程的平均速度分别是多少？
（2）走完全程，甲、乙哪个所需时间短？

Answer 1

分析 （1）甲乙均做单向直线运动，甲前一半时间速度v₁，后一半时间速度v₂，所以设甲的总时间为2t；乙前一半位移速度v₁，后一半位移速度v₂，所以设乙的总位移为2x；最后根据$\overline{v}=\frac{x}{t}$分别求出甲乙的平均速度．
（2）甲乙两个平均速度做差，判断出谁的平均速度大，平均速度大的所需的时间短．

解答 解：（1）设甲的总时间为2t，x=vt得，x_甲=v₁t+v₂t，根据$\overline{{v}_{甲}}=\frac{{x}_{甲}}{2t}$，得：$\overline{{v}_{甲}}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
设乙的总位移为2x，根据$t=\frac{x}{v}$得，${t}_{1}=\frac{x}{{v}_{1}}$，${t}_{2}=\frac{x}{{v}_{2}}$，$\overline{{v}_{乙}}=\frac{2x}{{t}_{1}+{t}_{2}}$，得：$\overline{{v}_{乙}}=\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$．
（2）$\overline{{v}_{甲}}-\overline{{v}_{乙}}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}-\frac{2{{v}_{1}v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{{{（v}_{1}-{v}_{2}）}^{2}}{2{（v}_{1}{+v}_{2}）}＞0$，得出$\overline{{v}_{甲}}＞\overline{{v}_{乙}}$，因为甲乙运动位移相同，故根据$t=\frac{x}{v}$得，t_甲＜t_乙，故甲用的时间短
答：（1）甲的平均速度为$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$，乙的平均速度为$\frac{{{2v}_{1}v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$．
（2）走完全程，甲用的时间短．

点评 本题（1）考查了平均速度的求法，需根据题干，合理设出未知量，这样会使解题变得相对容易．（2）需要同学自己推理出来，相等位移，时间短的平均速度大，平均速度做差比较大小即可．