Question

5．如图所示，直角坐标系xOy在水平面内，其第一象限内有一磁场，方向垂直于水平面向下，磁场沿y轴方向分布均匀，沿x轴方向磁感应强度B随坐标x增大而减小，满足B=$\frac{1}{x}$（单位T）；“∠”形光滑金属长直导轨MON顶角为45°，固定在水平面内，ON与x轴重合，一根质量为2kg的导体棒放在导轨上，导体棒与导轨接触，电阻恒为0.5Ω，其余电阻不计，导体棒最初处于原点位置O，某时刻给导体棒施加一个水平向右的外力作用，使得导体棒从静止开始沿x轴正方向运动，运动过程中回路中产生的电动势E与实践t的关系为E=3t（单位V），求：
（1）第2s内回路中流过的电荷量q；
（2）导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据欧姆定律，由电动势求得电流，进而得到平均电流，然后就可计算电荷量；
（2）由电动势求得速度的表达式，进而得到加速度；然后根据导体棒的受力分析，利用牛顿第二定律求解即可．

解答 解：（1）运动过程中回路中产生的电动势E与实践t的关系为E=3t（单位V），那么回路中的电流$I=\frac{E}{R}=6t$（单位A）；
那么在第2s内的平均电流$\overline{I}=6×1.5A=9A$，所以，第2s内回路中流过的电荷量$q=\overline{I}t=9C$；
（2）导体棒在x处时电动势$E=Blv=\frac{1}{x}×x×v=6t$，所以，在x处的速度v=6t；那么加速度a=6m/s²，所以，导体棒所受合外力F_合=ma=12N；
$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=3{t}^{2}$；导体棒受到的安培力${F}_{安}=BIl=\frac{1}{x}×6t×x=6t$=$2\sqrt{3x}$（单位N），
导体棒在运动过程中只受外力F和安培力的作用，所以，外力F=F_合+F_安=$12+2\sqrt{3x}$；
答：（1）第2s内回路中流过的电荷量q为9C；
（2）导体棒滑动过程中水平外力F与横坐标x的关系式为$F=12+2\sqrt{3x}$．

点评 闭合电路切割磁感线的问题中，一般求解电量都是通过求解平均电流来求解；而求解发热量、做功一般应用能量守恒定律求解．