Question

如图（甲）是游乐场中双环过山车的实物图片,图（乙）是过山车的原理图。在原理图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道被固定在倾角为α=37°斜直轨道面上的Q、Z两点处（Q、Z是圆轨道的接口，也是轨道间的切点）, 圆形轨道与斜直轨道之间圆滑连接，且在同一竖直面内。PQ之距L₁ =6m, QZ之距L₂ =18m，两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐。现使一辆较小的过山车(视作质点)从P点以一定初速度沿斜面向下运动。已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=1/24 , g=10m/s²,sin37⁰ =0.6 , cos37⁰ =0.8。

（1）若车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处,则其在P点的初速度应为多大?

（2）若车在P处的初速度变为10m/s,则小车经过第二个轨道的最低点D处时对轨道的压力是重力的几倍？计算说明车有无可能出现脱轨现象?

Answer 1

（1）2√6 m/s

（2）6.05mg，车不会脱轨

解析:

（1）mg=mV_A²/R₁  ①----------------------------------------------------------2分

    mV_A²/2 - mV₀²/2 = -μmgcos37⁰ L₁  ②--------------------------------------2分

    V₀=2√6 m/s -----------------------------------------------------------1分

（2）mV_D²/2 - mV₀²/2 = 2mgR₂ -μmgcos37⁰(L₁+L₂)  ③--------------------------------2分

    F-mg=mV_D²/R₂  ④------------------------------------------------------------2分

    F = 6.05mg ----------------------------------------------------------------1分

因100m/s>2√6 m/s，故车不会在第一个圆轨道脱轨。---------------------------------1分

判车能否到达最高点B处：假定车恰能到达B处，所需的初速度为V₀^/，有：

mg=mV_B²/R₂ ⑥ ；mV_B²/2 - mV₀^/2/2 = -μmgcos37⁰(L₁+L₂)⑦   得V₀^/ =4√6 m/s ，V₀>V₀^/  ----1分

综合分析，车不会脱轨。（其它方法，正确的给同样的分）