Question

如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片，图乙是过山车的部分模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=8.0m，该光滑圆形轨道与倾角为α=37°斜轨道面上的Q点相切并固定，圆形轨道的最高点A与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动，已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=1/24，m=10kg．不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，问：

（1）小车在A点的速度为多大？
（2）小车在圆形轨道的最低点B时，轨道对小车的支持力多大？
（3）小车在P点的初速度为多大？

Answer 1

分析：（1）小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，知轨道对小车的弹力为零，重力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出小车在A点的速度．
（2）根据动能定理求出小车在轨道B点是的速度，再运用牛顿第二定律，通过支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力与重力的关系．
（3）对P到A全过程运用动能定理，重力做功为零，根据几何关系求出在斜面上的位移，通过动能定理求出初速度的大小．

解答：解（1）小车经过A点时的临界速度为v_A，
mg=m

v 2 A

R

，
解得：v_A=

gR

=

10×8

=4

5

m/s；
（2）根据动能定理得，

1

2

mv_B²-

1

2

mv_A²=mg?2R，
由牛顿第二定律得，F_B-mg=m

v 2 B

R

，
解得：F_B=6mg=600N；
（3）设Q点与P点高度差为h，PQ间距离为L，L=

R(1+cosα)

sinα

．
P到A对小车，由动能定理得：μmgcosα?L=

1

2

mv_A²-

1

2

mv₀²，
解得：v₀=4

6

m/s．
解：（1）小车在A点的速度为4

5

m/s．
（2）轨道对小车的支持力压力为600N．
（3）小车在P点的初速度为4

6

m/s．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和动能定理，关键是理清运动的过程，运用合适的规律进行求解．