Question

18．如图所示，在xOy平面直角坐标系中，直角三角形ACD内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．线段CO=OD=l，θ=30°．在第四象限正方形ODEF内存在沿+x方向、大小E=$\frac{{B}^{2}el}{3m}$ 的匀强电场，沿AC在第三象限放置一平面足够大的荧光屏，屏与y轴平行．一个电子P从坐标原点沿+y方向射入磁场，恰好不从AD边射出磁场．已知电子的质量为m，电量为e．试求：
（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）电子在电场中运动的时间；
（3）若另一电子Q从x坐标轴上某点（x≠0）以相同的速度射入磁场．P、Q打在荧光屏上同一点，电子射人磁场时的坐标x．

Answer 1

分析 （1）由电子恰好不从AD边射出磁场得到半径，再由牛顿第二定律求得速度；
（2）求得电子在电场中的加速度，分析电子可能出射的边界，分别讨论粒子在电场中的运动时间，较短的即为实际运动时间；
（3）求得电子P在荧光屏上的位置，在讨论怎样的电子可以射到荧光屏上同一点，那么，不同于P的另一运动轨迹即为电子P的，再按P的运动过程逆推得到Q射入磁场的坐标．

解答 解：（1）电子恰好不从AD边射出磁场得到半径，则电子运动轨迹与AD边相切，设电子运动半径为R，则由几何知识可得：
3R=l，
解得：$R=\frac{1}{3}l$；
电子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力作向心力，所以有：$Bve=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得：$v=\frac{BeR}{m}=\frac{Bel}{3m}$；
（2）由几何知识可知，电子进入电场的坐标为：$x=2R=\frac{2}{3}l$；
电子沿竖直向下的方向进入电场，电场力水平向左，所以，电子做类平抛运动；
电子的加速度为：$a=\frac{Ee}{m}=\frac{{B}^{2}{e}^{2}l}{3{m}^{2}}$；
电子若从EF间射出，则电子在电场中运动的时间为：${t}_{1}=\frac{l}{v}=\frac{3m}{Be}$；
电子若从OE间离开电场，则电子在电场中运动的时间为：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{3}l}{\frac{{B}^{2}{e}^{2}l}{3{m}^{2}}}}=\frac{2m}{Be}$；
因t₁＞t₂，所以由此可以判断电子是从OE间离开电场的．电子在电场中运动的时间为：${t}_{2}=\frac{2m}{Be}$；
（3）电子P通过y轴的坐标为：${y}_{P}=-v{t}_{2}=-\frac{Bel}{3m}×\frac{2m}{Be}=-\frac{2}{3}l$
速度与y轴负方向的夹角α有关系式为：$tanα=\frac{a{t}_{2}}{v}=\frac{\frac{{B}^{2}{e}^{2}l}{3{m}^{2}}×\frac{2m}{Be}}{\frac{Bel}{3m}}=2$；
所以，电子P打在荧光屏的y坐标为：$y={y}_{P}-\frac{l}{tanα}=-\frac{2}{3}l-\frac{1}{2}l=-\frac{7}{6}l$；
电子Q要打在荧光屏上，则必从OD上离开磁场，进入电场；又有电子Q在磁场中的运动半径相同，所以，电子Q进入磁场的速度为v，方向竖直向下；所以，电子Q进入电场时的坐标x_Q小于x，那么，粒子一定从OE间离开电场；
设电子Q离开电场时的坐标为（0，-y_Q），在电场中运动的时间为t，则在水平方向上有：${x}_{Q}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{B}^{2}{e}^{2}l{t}^{2}}{6{m}^{2}}$，
在竖直方向上有：y_Q=vt，$\frac{7}{6}l-{y}_{Q}=v•\frac{l}{at}$=$\frac{3{m}^{2}v}{{B}^{2}{e}^{2}t}$
所以，$t=\frac{2m}{Be}$（电子P）或$t=\frac{3m}{2Be}$（电子Q）；
所以，${x}_{Q}=\frac{{B}^{2}{e}^{2}l×（\frac{3m}{2Be}）^{2}}{6{m}^{2}}=\frac{3}{8}l$
所以，电子Q进入磁场的坐标为：
$x={x}_{Q}-2R=\frac{3}{8}l-\frac{2}{3}l=-\frac{7}{24}l$；
答：（1）电子射入磁场时的速度大小为$\frac{Bel}{3m}$；
（2）电子在电场中运动的时间为$\frac{2m}{Be}$；
（3）若另一电子Q从x坐标轴上某点（x≠0）以相同的速度射入磁场．P、Q打在荧光屏上同一点，则电子射人磁场时的坐标x为$-\frac{7}{24}l$．

点评 带电粒子在磁场中运动，垂直进入磁场，若从进入磁场的点在同一边界射出磁场，则粒子速度方向正好相反．