Question

6．已知某星球的半径为R，绕星球做匀速圆周运动的一颗卫星质量为m，到星球表面的高度为h，星球表面自由落体加速度为g．求：
（1）卫星绕该星球运转的周期T；
（2）该星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）卫星绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得运转周期
（2）卫星绕星球做近地运动，根据重力提供向心力，直接化简可得第一宇宙速度

解答 解：（1）卫星绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$①
在星球表面的物体重力等于万有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$②
联立①②得$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
（2）星球的近地卫星万有引力提供向心力
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{gR}$
答：（1）卫星绕该星球运转的周期T为$2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$；
（2）该星球的第一宇宙速度v为$\sqrt{gR}$．

点评 本题要掌握解决天体问题的两种关系：1、万有引力提供向心力、2、星球表面的重力等于万有引力，同时要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．