题目内容

7．质谱仪是一种测定带电粒质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示．离子源S产生质量为m、电量为q的正离子束（初速度近似为零），经电势差为U加速电场加速，然后从入口处S1垂直进入磁感应强度为B的有界匀强磁场，运动半个周期后，到达记录它的照相底片P上．试求：
（1）P与S1之间的距离X；
（2）由于仪器不完善，加速电压在平均值U附近变化±△U，试求照相底片P上同一离子的宽度△X；
（3）在第（2）问情况下，要使同位素钾39、钾41（两者电量相同、质量之比m1：m2=39：41）在照相底片上不发生覆盖，电压相对值$\frac{△U}{U}$应满足什么条件．

分析 根据洛伦兹力提供向心力，可求出粒子的轨道半径，然后求出距离．因电荷在电场中加速，根据动能定理与牛顿第二定律相结合，即可求解运动半径的大小；再由电压变化范围，则有钾39和钾41打在照相底片上的区域不重叠时的电压差

解答 解：（1）离子加速由动能定理有：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
进入磁场做圆周运动洛伦兹力提供向心力：$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$  
又有：X=2r 
联立解得：X=$\frac{B}{2}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$ 
（2）由（1）可知：最大距离为：Xmax=$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m（U+△U）}{q}}$  
最小距离为：${X}_{min}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m（U-△U）}{q}}$
得：△X=$\frac{2}{B}（\sqrt{\frac{2m（U+△U）}{q}}-\sqrt{\frac{2m（U-△U）}{q}}）$
（3）由上式可知，质量越大，X越大，钾39最大距离为：Xmax=$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m（U+△U）}{q}}$
                                钾41最小距离为：Xmin=$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2{m}_{2}（U-△U）}{q}}$

两者不发生覆盖，则有Xmax＜Xmin 即：m1（U+△U）＜m2（U-△U） 
得：$\frac{△U}{U}＜\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$  
代入数据得：$\frac{△U}{U}＜\frac{1}{40}$
答：（1）P与S1之间的距离X为$\frac{B}{2}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$ 
（2）照相底片P上同一离子的宽度△X为=$\frac{2}{B}（\sqrt{\frac{2m（U+△U）}{q}}-\sqrt{\frac{2m（U-△U）}{q}}）$
（3，电压相对值$\frac{△U}{U}$应满足$\frac{△U}{U}＜\frac{1}{40}$

点评 本题是动能定理和牛顿定律的综合题，掌握粒子在磁场中运动的半径公式，并能灵活运用．明确钾39和钾41打在照相底片上的区域不重叠时的电压差．

练习册系列答案
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