Question

11．如图所示，一束电子平行于匀强磁场边界入射，入射点到边界的距离为d，其中有的电子以速度v₁垂直于磁场边界从磁场中射出，有的以速度v₂与边界成30°角从磁场射出，则：
（1）电子圆周运动轨道半径之比R₁：R₂为多少？
（2）电子运动速度比v₁：v₂为多少？
（3）电子在磁场中运动时间比t₁：t₂为多少？

Answer 1

分析 （1）洛伦兹力提供向心力，结合左手定则，画出轨迹，找出圆心，结合几何关系判断半径之比；
（2）粒子做匀速圆周运动，结合推论公式R=$\frac{mv}{qB}$，轨道半径与速度成正比；
（3）先找出轨迹圆的圆心角，然后结合公式t=$\frac{θ}{2π}T$和T=$\frac{2πm}{qB}$判断时间之比．

解答 解：（1）如题图所示，过A、C两点分别作垂直于速度方向直线，相交于O₁点：过A、D两点分别作垂直于速度方向直线，相交于O₂，O₁、O₂为两个圆周的圆心．
从C点射出的电子圆周圆心在界线上，因此圆周半径R₁=d．
设从D点射出的电子圆周运动轨道半径为R₂．
在Rt△O₁O₂D中，∠O₁O₂D=30°，cos30°=$\frac{{R}_{2}-d}{{R}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
得${R}_{2}=2（2+\sqrt{3}）d$，因此${R}_{1}：{R}_{2}=1：2（2+\sqrt{3}）$．
（2）根据$R=\frac{mv}{qB}$得：$v=\frac{qBR}{m}$，故有：${v}_{1}：{v}_{2}={R}_{1}：{R}_{2}=1：2（2+\sqrt{3}）$
（3）电子在磁场中运动弧长所对圆心角分别为90°和30°，
故时间比t₁：t₂=3：1．
答：（1）电子圆周运动轨道半径之比R₁：R₂为$1：2（2+\sqrt{3}）$；
（2）电子运动速度比v₁：v₂为$1：2（2+\sqrt{3}）$；
（3）电子在磁场中运动时间比t₁：t₂为3：1．

点评 本题关键是找出圆心，画出轨迹，确定半径，然后结合推论公式R=$\frac{mv}{qB}$、T=$\frac{2πm}{qB}$、t=$\frac{θ}{2π}T$列式判断，基础题目．