Question

10．如图所示，在倾角θ=37°的固定斜面上放置一质量M=1kg、长度L=1.5m的薄平板AB．平板的上表面光滑，其下端B与斜面底端C的距离为10.5m，在平板的上端A处放一质量m=0.5kg的滑块P（可视为质点），开始时使平板和滑块都静止，之后将它们无初速释放．平板与斜面间、滑块与斜面间的动摩擦因数均为μ=0.25，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，求：
（1）滑块P离开平板时的速度；
（2）平板下端B到达斜面底端C的时间与P到达C点的时间差．

Answer 1

分析 分别研究滑块与平板的运动情况：开始时，由于Mgsin37°＜μ（M+m）gcos37°，滑块在平板上滑动时，平板静止不动．根据牛顿第二定律求出滑块的加速度，由位移-速度关系式求出滑块到达B点时的速度．滑块离开平板后，根据牛顿第二定律求出滑块沿斜面下滑的加速度，由位移公式求解滑块由B至C所用时间．滑块滑离后平板才开始运动，根据牛顿第二定律求出平板沿斜面下滑的加速度，由位移公式求解滑块由B至C所用时间．再求解时间差．

解答 解：（1）当P离开薄板前，受力如图，由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma_m1
当P离开薄板前，薄板受力如图，由牛顿第二定律、平衡条件、摩擦力公式得：Mgsinθ-f_M1=Ma_M1
N_M1=Mgcosθ+N_m′
f_M1=μN_M1
N_m′=N_m=mgcosθ
由匀变速运动规律得：${s_m}=\frac{1}{2}{a_{m1}}t_1^2$
${s_M}=\frac{1}{2}{a_{M1}}t_1^2$
v_m1=a_m1t₁
由题意得：s_m-s_M=L
联立以上各式并代入数据解得：v_m1=6m/s
（2）当P离开薄板后，受力如图，由牛顿第二定律、摩擦力公式得：mgsinθ-f_m=ma_m2f_m=μN_m
当P离开薄板后，薄板受力如图，由牛顿第二定律、平衡条件、摩擦力公式得：

Mgsinθ-f_M2=Ma_M2
N_M2=Mgcosθf_M2=μN_M2
由匀变速运动规律得：${s_{BC}}-{s_M}={v_{m1}}{t_2}+\frac{1}{2}{a_{m2}}t_2^2$
${s_{BC}}-{s_M}={v_{M1}}{t_3}+\frac{1}{2}{a_{M2}}t_3^2$
v_M1=a_M1t₁
联立以上各式并代入数据解得：△t=t₃-t₂=0.5s
答：（1）滑块P离开平板时的速度为6m/s；
（2）平板下端B到达斜面底端C的时间与P到达C点的时间差为0.5s．

点评 本题关键在于分析两物体的受力情况，再确定物体的运动情况．也可以运用动能定理与运动学公式结合求解．