Question

20．欲划船渡过宽100m的河，船相对河岸的速度v₁=5m/s，水流速度v₂=3m/s，
（1）若小船在最短时间过河，船头应怎样放置，且渡河的最短时间是多少？
（2）若小船渡河位移最短，船头应怎样放置？且渡河的时间是多少？
（3）若水流速度变为6m/s，而船速不变，则渡河的最短位移是多少？

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．当静水速小于水流速，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，当合速度的方向与静水速的方向垂直时，渡河位移最短．

解答 解：（1）当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短，则知：t_min=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{100}{5}$s=20s 
（2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸，设与河岸的夹角为θ，
      则由矢量合成的平行四边形法则解三角形得：cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{5}$，
      这时船头与河水速度夹角为θ=53°
那么船垂直河岸行驶的速度为v=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$m/s=4m/s；
所以渡河时间t=$\frac{100}{4}$s=25s；
（3）因为不能垂直渡河，所以当合速度的方向与静水速的方向垂直，渡河位移最短，
设渡河的最小位移x，则有：$\frac{d}{x}=\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$，解得：x=120m．
答：（1）若小船在最短时间过河，船头垂直过河，且渡河的最短时间是20s；
（2）若小船渡河位移最短，船头偏向上游53°，且渡河的时间是25s；
（3）若水流速度变为6m/s，而船速不变，则渡河的最短位移是120m．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．