Question

5．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，从而获得地球不同位置处的重力加速度，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，获得重力加速度为g₀．
（1）由以上已知物理量可求得地球密度是多少？
（2）若在北极地面和赤道地面分别以相同初速度，相同高度平抛一物体，求物体在北极地面和赤道地面做平抛运动的水平位移比为多少？
（3）若已知月球中心到地球中心的距离约为60R，绕行轨道视为圆轨道，现有另一绕地球做椭圆轨道运动的卫星周期为T₁，求此椭圆轨道的半长轴a为多少？

Answer 1

分析 （1）抓住在两极处万有引力等于重力，求出地球的质量，结合地球的体积求出地球的密度．
（2）在两极万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，求出在赤道和两极的重力加速度之比，从而结合平抛运动的规律求出物体在北极地面和赤道地面做平抛运动的水平位移比．
（3）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径大小求出轨道半径的三次方和周期的二次方的比值，结合开普勒第三定律求出椭圆轨道的半长轴．

解答 解：（1）根据万有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ$，
解得：ρ=$\frac{3{g}_{0}}{4GπR}$．
（2）在赤道：$m{g}_{0}-m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R=m{g}_{1}$，
所以${g}_{1}={g}_{0}-\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，
由平抛得：x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：$x={v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
则$\frac{{x}_{0}}{{x}_{1}}=\sqrt{\frac{{g}_{1}}{{g}_{0}}}$=$\sqrt{1-\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}{g}_{0}}}$．
（3）由月球绕地球可得：$\frac{GMm}{（60R）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}•60R$，
所以$\frac{（60R）^{3}}{{T}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{4{π}^{2}}=K$，
K=$\frac{{a}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得：a=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{{T}_{1}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
答：（1）由以上已知物理量可求得地球密度是$\frac{3{g}_{0}}{4GπR}$；
（2）物体在北极地面和赤道地面做平抛运动的水平位移比为$\sqrt{1-\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}{g}_{0}}}$；
（3）此椭圆轨道的半长轴a为$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{{T}_{1}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

点评 本题考查了万有引力定律和平抛运动规律的综合运用，知道两级和赤道处的重力加速度不同，求出重力加速度之比是解决本题的关键，掌握万有引力等于重力以及开普勒第三定律的灵活运用．