Question

6．如图甲所示，固定在水平桌边上的“”型平行金属导轨足够长，倾角为53°，间距L=2m，电阻不计；导轨上两根金属棒ab、cd的阻值分别为R₁=2Ω，R₂=4Ω，cd棒质量m₁=1.0kg，ab与导轨间摩擦不计，cd与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中．现让ab棒从导轨上某处由静止释放，当它刚要滑出导轨时，cd棒刚要开始滑动；g取10m/s²，sin37°=cos53°=0.6，cos37°=sin53°=0.8．

（1）在乙图中画出此时cd棒的受力示意图，并求出ab棒的速度；
（2）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，则ab棒质量应小于多少？
（3）假如cd棒与导轨间的动摩擦因数可以改变，则当动摩擦因数满足什么条件时，无论ab棒质量多大、从多高位置释放，cd棒始终不动？

Answer 1

分析 （1）根据楞次定律判断出回路中感应电流的方向，由左手定则判断出cd棒所受的安培力方向，再分析所受的其他力．cd棒刚好滑动时所受的静摩擦力达到最大，根据平衡条件和安培力公式、摩擦力公式结合解答．
（2）ab棒在足够长的轨道下滑时，最大安培力只能等于自身重力的分力，ab棒与cd棒串联，它们所受的最大安培力大小相等，要cd棒都不动，应使其所受的静摩擦力不超过最大静摩擦力，据此列式求解．
（3）运用与第2题同样的思路解答此题．

解答 解：（1）ab棒沿斜面滑下切割磁感线产生的感应电流的方向是b→a→c→d→b；
因为当ab棒从导轨刚要滑出时，cd棒刚要开始滑动，其受力分析如图所示． 

由受力分析得：BILcos53°=f…①
 N-m₁g-BILsin53°=0…②
且：f=μN…③，
解得：I=2.5A…④
根据法拉第电磁感应定律：E=BLv…⑤
闭合电路的欧姆定律：$I=\frac{E}{{{R_1}+{R_2}}}$…⑥
解得：v=1.5m/s…⑦
（2）ab棒在足够长的轨道下滑时，最大安培力只能等于自身重力的分力，有：
 F_A=m_abgsin53°…⑧
因ab棒与cd棒串联，故所受最大安培力大小相等…⑨
要使cd棒不能滑动，需：F_Acos53°≤μ（m₁g+F_Asin53°）…⑩
以上两式联立解得：m_ab≤3.125kg…（11）
（3）ab棒下滑，cd棒始终不动，须有：F′_Acos53°≤μ（m₁g+F′_Asin53°）…（12）
得：μ≥$\frac{{F}_{A}′cos53°}{{m}_{1}g+{F}_{A}′sin53°}$=$\frac{cos53°}{\frac{{m}_{1}g}{{F}_{A}′}+sin53°}$
当ab棒的质量无限大，在无限长的轨道最终做匀速运动，安培力F′_A趋于无穷大，则有：μ≥$\frac{cos53°}{sin53°}$=0.75
答：
（1）在乙图中画出此时cd棒的受力示意图如图所示，ab棒的速度是1.5m/s；
（2）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，则ab棒质量应小于3.125kg；
（3）当动摩擦因数满足μ≥0.75的条件时，无论ab棒质量多大、从多高位置释放，cd棒始终不动．

点评 解决本题的关键是运用极限分析cd棒始终不动的条件，同时要掌握法拉第定律、欧姆定律和安培力公式等等电磁感应的基本规律，并能熟练运用．