Question

如图所示，AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心O₁,O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上.O₂B沿水池的水面，O₂和B两点位于同一水平面上.一个质量为m的小滑块可由弧AO的任意位置从静止开始滑下，不计一切摩擦。

(1)假设小滑块由A点静止下滑，求小滑块滑到O点时对O点的压力；

(2)凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离如何；

(3)若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处（用该处到O₁点的连线与竖直线的夹角的三角函数值表示).

Answer 1

解：（1）mgR=mv²　 Fn—mg=mv²/R　　 联立得：Fn=3mg 2分

由牛顿第三定律得：压力大小为3mg,方向竖直向下。 1分

（2）从A点下滑的滑块到O点的速度为，设能脱离轨道的最小速度为v₁

则有：　 mg=mv₁²/R,　　 得：v₁=　 2分

R=gt² X=v_ot　　　　　 联立得：R≤x≤2R 　 2分

(3) 如图所示，设滑块出发点为，离开点为，按题意要求、与竖直方向的夹角相等，设其为，若离开滑道时的速度为v，则滑块在处脱离滑道的条件是

　　 　　1分

由机械能守恒 　　1分

联立解得　 　　1分