Question

如图所示，竖直放置的圆弧轨道和水平轨道两部分相连． 水平轨道的右侧有一质量为 2m 的滑块C 与轻质弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在竖直的墙M上，弹簧处于原长时，滑块C静止在P 点处；在水平轨道上方O 处，用长为L 的细线悬挂一质量为 m 的小球B，B 球恰好与水平轨道相切，并可绕O点在竖直平面内摆动．质量为 m 的滑块A 由圆弧轨道上静止释放，进入水平轨道与小球B发生弹性碰撞． P 点左方的轨道光滑、右方粗糙，滑块A、C 与PM 段的动摩擦因数均为μ=0.5，A、B、C 均可视为质点，重力加速度为g．
（1）求滑块A 从2L高度处由静止开始下滑，与B碰后瞬间B的速度．
（2）若滑块A 能以与球B 碰前瞬间相同的速度与滑块C 相碰，A 至少要从距水平轨道多高的地方开始释放？（3）在（3）中算出的最小值高度处由静止释放A，经一段时间A 与C 相碰，设碰撞时间极短，碰后一起压缩弹簧，弹簧最大压缩量为

1

3

L，求弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出A与B碰撞前的速度，结合动量守恒定律和能量守恒定律求出与B碰后瞬间B的速度．
（2）要使滑块A 能以与B 碰前瞬间相同的速度与C 碰撞，必须使小球B 受A 撞击后在竖直平面内完成一个完整的圆周运动后从左方撞击A，使A 继续向右运动．抓住小球通过最高点的临界速度，结合机械能守恒定律求出A下滑的高度．
（3）根据动量守恒定律和能量守恒定律求出弹簧的最大弹性势能．

解答：解：（1）对A，由机械能守恒得：mg×2L=

1

2

mv02
v₀=2

gL

A与B碰mv₀=mv_A+mv_B

1

2

mv02=

1

2

mvA2+

1

2

mvB2
速度交换，v_B=v₀=2

gL

．
（2）要使滑块A 能以与B 碰前瞬间相同的速度与C 碰撞，必须使小球B 受A 撞击后在竖直平面内完成一个完整的圆周运动后从左方撞击A，使A 继续向右运动．
设A 从距水平面高为 H 的地方释放，与B 碰前的速度为v₀
对A，由机械能守恒得：mgH=

1

2

mv02．
设小球B 通过最高点的速度为v_B，则它通过最高点的条件是：
mg≤m

vB2

L

小球B 从最低点到最高点的过程机械能守恒：

1

2

mv02=2mgL+

1

2

mvB2
解得：H≥

5

2

L．
（3）从这个高度下滑的A 与C碰撞前瞬间速度：v0=

5gL

．
设A 与C 碰后瞬间的共同速度为v，由动量守恒：
mv₀=（m+2m）v
A、C 一起压缩弹簧，由能量守恒定律．有：

1

2

(m+2m)v2=EP+(μmg+μ?2mg)?

1

3

L
解得：EP=

1

3

mgL．
答：（1）与B碰后瞬间B的速度为2

gL

．
（2）滑块A 能以与球B 碰前瞬间相同的速度与滑块C 相碰，A 至少要从距水平轨道

5

2

L的地方开始释放．
（3）弹簧的最大弹性势能为

1

3

mgL．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定律和牛顿第二定律，综合性较强，关键是理清物体的运动情况，选择合适的规律进行求解．