Question

13．如图所示，甲图是一圆形光滑轨道，半径为R，乙图是一开口向下的抛物面光滑轨道，与y轴交点为抛物面的顶点．现同时将质量为m的两个相同小球分别由两轨道顶点静止释放，在小球沿轨道运动直至落在水平面过程中，下列说法正确的是（　　）（已知重力加速度为g）

• A． 甲图中小球一定不能落在x=R处
• B． 甲图中小球在落x轴上时竖直方向速度v_y=$\frac{\sqrt{46gR}}{3\sqrt{3}}$
• C． 乙图中无论a，b取何值，小球一定能落到x=b的位置
• D． 乙图中小球落在x轴时方向竖直向下

Answer 1

分析 甲球先沿圆轨道运动，然后离开轨道做斜下抛运动．根据机械能守恒定律和向心力公式求出球离开圆轨道的位置，再运用运动的分解法求小球在落x轴上时竖直方向速度．乙图中小球一定能落到x=b的位置，落在x轴时有水平分速度．

解答 解：AB、甲球先沿圆轨道运动，随着速度的增大，所需要的向心力增大，当轨道的支持力为零时球做离心运动，离开圆轨道后做斜下抛运动，不可能在x=R处．
设球离开圆轨道时半径与竖直方向的夹角为α．由机械能守恒定律得：mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．在离开圆轨道的位置，有 mgcosα=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得 cosα=$\frac{2}{3}$，v=$\sqrt{\frac{2}{3}gR}$
球离开圆轨道后，由运动的分解法可得：球落地时水平速度为 v_x=vcosα
落地时的速度设为v′，则由机械能守恒定律得 mgR=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，得v′=$\sqrt{2gR}$
则小球在落x轴上时竖直方向速度 v_y=$\sqrt{v{′}^{2}-{v}_{x}^{2}}$
联立解得 v_y=$\frac{\sqrt{46gR}}{3\sqrt{3}}$．故B正确．
C、乙图轨道是抛物线，无论a，b取何值，小球一定能落到x=b的位置．故C正确．
D、乙图中小球落在x轴时有水平分速度，速度不可能竖直向下．故D错误．
故选：ABC

点评 解决本题的关键要分析两球的运动过程，运用机械能守恒定律和圆周运动的临界条件分析，要明确抛体运动可根据运动的分解法研究．