Question

8．如图所示，内壁光滑质量为m的管形圆轨道，竖直放置在光滑水平地面上，恰好处在两固定光滑挡板M、N之间，圆轨道半径R，质量为m的小球能在管内运动，小球可视为质点，管的内径忽略不计．当小球运动到轨道最高点时，圆轨道对地面的压力刚好为零，下列判断正确的是（　　）

• A． 圆轨道对地面的最大压力大小为8mg
• B． 圆轨道对挡板M、N的压力总为零
• C． 小球运动的最小速度为$\sqrt{gR}$
• D． 小球离挡板N最近时，圆轨对挡板N的压力大小为5mg

Answer 1

分析 抓住小球运动到最高点时，圆轨道对地面的压力为零，求出最高点的速度，根据动能定理求出小球在最低点的速度，从而结合牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力，得出圆轨道对地面的最大压力．根据动能定理求出小球离挡板N最近时的速度，结合牛顿第二定律求出弹力的大小．

解答 解：A、当小球运动到最高点时，圆轨道对地面的压力为零，可知小球对圆轨道的弹力等于圆轨道的重力，根据牛顿第二定律得，mg+N=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，N=mg，解得最高点的速度${v}_{1}=\sqrt{2gR}$，该速度为小球的最小速度．根据动能定理得，mg•2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，根据牛顿第二定律得，N′-mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，联立解得小球对轨道的最大压力N′=7mg，则圆轨道对地面的最大压力为8mg，故A正确，C错误．
B、在小球运动的过程中，圆轨道对挡板的一侧有力的作用，所以对挡板M、N的压力不为零，故B错误．
D、根据动能定理得，mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，根据牛顿第二定律得，$N″=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$，联立解得N″=4mg，则圆轨对挡板N的压力为4mg，故D错误．
故选：A．

点评 本题考查了牛顿第二定律和动能定理的综合运用，通过牛顿第二定律求出最高点的速度是解决本题的关键，知道小球在最低点时，圆轨道对地面的压力最大．