Question

1．底边长a、高度为b的长方体均匀物块置于斜面上．斜面和物块之间的静摩擦因数为μ．斜面的倾角为θ，当θ足够小时，物块静止在斜面上．如图所示．如果将倾角逐渐增大．当θ取某个临界值θ₀时，物块或将开始滑动，或将翻倒．试分别求出发生滑动和翻倒时的θ₀．并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒．

Answer 1

分析 当物块刚开始发生滑动时，重力的下滑分力恰好等于最大静摩擦力，可列出方程，得到θ₀．当物块刚开始发生翻倒时，其重心恰好位于物块与斜面下端接触点的正上方，由几何关系求解此时θ₁．

解答 解：物块刚开始发生滑动时，则有：
mgsinθ₀=μmgcosθ₀，
tanθ₀=μ，
即：θ₀=arctanμ
刚开始发生翻倒时，如图所示，有 θ₁=φ，

tanφ=$\frac{a}{b}$，φ=arctan$\frac{a}{b}$，
即 θ₁≥arctan$\frac{a}{b}$时，发生翻倒．
综上所述，可知：
当μ＜$\frac{a}{b}$时，θ增大到arctanμ时，物体开始下滑；
当μ＞$\frac{a}{b}$时，θ增大到arctan$\frac{a}{b}$时，物体开始翻倒；
答：当μ＜$\frac{a}{b}$时，θ增大到arctanμ时，物体开始下滑；当μ＞$\frac{a}{b}$时，θ增大到arctan$\frac{a}{b}$时，物体开始翻倒．

点评 解答本题的关键是明确滑动和翻倒的临界条件，运用几何知识进行求解．当物块刚要滑动时静摩擦力达到最大，是常用的临界条件，是理解掌握并能灵活运用．