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8．如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上下边刚离开磁场时的速度刚好是线框上边刚进入磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f，且线框不发生转动．求：
（1）线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度v2；
（2）线框在上升阶段上边刚进入磁场时的加速度大小a；
（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的电热Q．

分析 （1）物体匀速运动，由共点力的平衡条件可求得线框的速度；
（2）由动能定理可求得物体从最高点落入磁场瞬间时的速度，再由牛顿第二定律，结合安培力表达式，即可求得在上升阶段上边刚进入磁场时的加速度大小；
（3）对全程分析，由能量守恒定律可求得线框在上升阶段产生的焦耳热．

解答 解：（1）线框在下落阶段匀速进入磁场瞬间有
mg=f+$\frac{{B}^{2}{a}^{2}{v}_{2}}{R}$，
解得：v2=$\frac{（mg-f）R}{{B}^{2}{a}^{2}}$
线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度$\frac{（mg-f）R}{{B}^{2}{a}^{2}}$；
（2）由动能定理，线框从离开磁场至上升到最高点的过程有：
0-（mg+f）h=0-$\frac{1}{2}$mv12…①
线圈从最高点落至进入磁场瞬间：
（mg-f）h=$\frac{1}{2}$mv22…②
由①②得：v1=$\sqrt{\frac{mg+f}{mg-f}}$v2=$\sqrt{（mg）^{2}-{f}^{2}}\frac{R}{{B}^{2}{a}^{2}}$
线框在上升阶段下边刚离开磁场时的速度$\sqrt{（mg）^{2}-{f}^{2}}\frac{R}{{B}^{2}{a}^{2}}$；
那么线框上边刚进入磁场时，速度的大小为：v0=2$\sqrt{（mg）^{2}-{f}^{2}}\frac{R}{{B}^{2}{a}^{2}}$；
根据牛顿第二定律，则有：mg+$\frac{{B}^{2}{a}^{2}{v}_{0}}{R}$=ma
解得：a=g+$\frac{{2B}^{2}{a}^{2}}{mR}$$\sqrt{（mg）^{2}-{f}^{2}}\frac{R}{{B}^{2}{a}^{2}}$；
（3）线框在向上通过磁场过程中，由能量守恒定律有：
$\frac{1}{2}$mv02-$\frac{1}{2}$mv12=Q+（mg+f）（a+b）而v0=2v1
解得：Q=$\frac{3}{2}$m[（mg）2-f2]$\frac{{R}^{2}}{{B}^{4}{a}^{4}}$-（mg+f）（a+b）
线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热为：Q=$\frac{3}{2}$m[（mg）2-f2]$\frac{{R}^{2}}{{B}^{4}{a}^{4}}$-（mg+f）（a+b）
答：（1）线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度$\frac{（mg-f）R}{{B}^{2}{a}^{2}}$；
（2）线框在上升阶段上边刚进入磁场时的加速度大小g+$\frac{{2B}^{2}{a}^{2}}{mR}$$\sqrt{（mg）^{2}-{f}^{2}}\frac{R}{{B}^{2}{a}^{2}}$；
（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的电热$\frac{3}{2}$m[（mg）2-f2]$\frac{{R}^{2}}{{B}^{4}{a}^{4}}$-（mg+f）（a+b）．

点评 此类问题的关键是明确所研究物体运动各个阶段的受力情况，做功情况及能量转化情况，选择利用牛顿运动定律、动能定理或能的转化与守恒定律解决针对性的问题，由于过程分析不明而易出现错误，所以，本类问题属于难题中的易错题．

练习册系列答案
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