Question

2．如图甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆a b，测得最大速度为v_m．改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图乙所示．已知轨距为L=2m，重力加速度g取10m/s²，轨道足够长且电阻不计．

（1）求金属杆的质量m和阻值r；
（2）当R=4Ω时，求回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W．

Answer 1

分析 （1）根据E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$及平衡条件，推导出杆的最大速度v_m与R的表达式，结合图象的意义，求解杆的质量m和阻值r；
（3）当R=4Ω时，读出最大速度．由E=BLv和功率公式P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到回路中瞬时电功率的变化量，再根据动能定理求解合外力对杆做的功W．

解答 解：（1）设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv
由闭合电路的欧姆定律：I=$\frac{E}{R+r}$
杆达到最大速度时满足 mgsinθ-BIL=0
解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$R+$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r
由图象可知：斜率为=$\frac{4-2}{2}$=1m/（s•Ω），纵截距为v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r=v₀，$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=k
解得：m=0.2kg，r=2Ω；
（3）由题意：E=BLv，
P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$，则得△P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R+r}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}$
由动能定理得
 W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立得 W=$\frac{m（R+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}△$P
代入解得 W=0.6J
答：
（1）金属杆的质量m是0.2kg，阻值r是2Ω；
（2）当R=4Ω时，回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W是0.6J．

点评 电磁感应问题经常与电路、受力分析、功能关系等知识相结合，是高中知识的重点，该题中难点是第三问，关键是根据物理规律写出两坐标物理量之间的函数关系．