Question

一轻质细绳一端系一质量为m=0.05kg的小球A，另一端挂在光滑水平轴O上，O到小球的距离为L=0．lm，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图所示水平距离s=2m，动摩擦因数为μ=0.25．现有一滑块B，质量也为m=0.05kg，从斜面上高度h=5m处滑下，与小球发生弹性正碰，与挡板碰撞时不损失机械能．  若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，（g取10m/s²，结果用根号表示），试问：
（1）求滑块B与小球第一次碰前的速度以及碰后的速度．
（2）求滑块B与小球第一次碰后瞬间绳子对小球的拉力．
（3）滑块B与小球碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小球做完整圆周运动的次数．

Answer 1

分析：（1）小球从最高点滑到O点正下方过程，根据能量守恒定律列式；再对碰撞过程利用动量守恒定律列式；联立方程组求解；
（2）对小球受力分析，受到重力和拉力，合力提供向心力，根据向心力公式和牛顿第二定律列式求解；
（3）滑块B与小球碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，转过一圈后恰好再次与小球碰撞，速度互换，滑块与挡板碰撞反弹后再次与小球碰撞并互换速度，小球顺时针转动一周后，从右侧与滑块碰撞并交换速度，之后滑块向左运动并返回到碰撞处，完成一个循环；之后重复这个过程，直到不在碰撞为止；根据能量守恒定律对整个过程列式求解即可得到碰撞次数．

解答：解：（1）滑块将要与小球发生碰撞时速度为v1，碰撞后速度为v1′，小球速度为v2．
根据能量守恒定律，得
mgh=

1

2

m

v

2 1

+μmg

S

2

解得
v1=

95

m/s
A、B发生弹性碰撞，由动量守恒，得到：mv1=m

v

′ 1

+mv2
由能量守恒定律，得到：

1

2

m

v

2 1

=

1

2

mv

′

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解得：v′1=0，v2=

95

m/s
即滑块B与小球第一次碰前的速度为

95

m/s，碰后的速度为0．
（2）碰后瞬间，有 T-mg=m

v 2 2

L

解得   T=48N
即滑块B与小球第一次碰后瞬间绳子对小球的拉力48N．
（3）小球刚能完成一次完整的圆周运动，它到最高点的速度为v₀，则有
mg=m

v 2 0

L

小球从最低点到最高点的过程机械能守恒，设小球在最低点速度为v，根据机械能守恒有

1

2

mv2=2mgL+

1

2

m

v

2 0

解得
v=

5

m/s
滑块和小球最后一次碰撞时速度至少为v=

5

m/s，滑块通过的路程为S′．根据能量守恒有
mgh=

1

2

mv2+μmgs
解得
s′=19m
小球做完整圆周圆周运动的次数
n=

s′- s 2

s

+1=10次
即小球做完整圆周运动的次数为10次．

点评：本题关键要明确物体的运动过程以及知道摩擦产生的热量为：Q=f?△S，其中△S为总路程，同时要能结合能量守恒定律、牛顿第二定律、向心力公式多次列式．