Question

2．如图所示，足够长的水平传送带在电动机的带动下匀速传动．现有一可视为质点，质量m=0.5kg的煤块落在传送带左端（不计煤块落下的速度），煤块在传送带的作用下从右轮轴正上方的P点恰好离开皮带做平抛运动，正好落入运煤车车箱中心点Q．已知煤块与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，P点与运煤车底板间的竖直高度H=1.8 m，与运煤车车箱底板中心点Q的水平距离x=1.2 m，取g=10 m/s²，求：
（1）传送带的速度v₀；
（2）右轮半径的最大值R_m；
（3）由于传送煤块，电动机多做的功W．

Answer 1

分析 （1）煤块平抛运动的初速度等于传送带匀速运动的速度，根据高度求出平抛运动的时间，再根据水平位移求出平抛运动的初速度．
（2）要使煤块在轮的最高点做平抛运动，则煤块到达轮的最高点时对轮的压力为零，由牛顿第二定律列式求解．
（3）运送一块0.5kg的煤块，带动传送带的电动机需要比传送带空载情况多消耗的电能等于煤块与传送带摩擦产生的热量与煤块的动能之和．

解答 解：（1）由平抛运动的规律，
得x=vt    
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入数据解得v=2m/s      
（2）要使煤块在轮的最高点做平抛运动，则煤块到达轮的最高点时对轮的压力为零，
由牛顿第二定律，得mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据得R=0.4m    
（3）由牛顿第二定律F=ma得
a=μg=8m/s²，
煤块沿传送带做初速度为零的匀加速直线运动的时间：$t=\frac{v}{a}=\frac{2}{8}=0.25s$
煤块的位移：${x}_{1}=\frac{v}{2}t=\frac{2}{2}×0.25=0.25m$
相等时间内传送带的位移：x₂=vt=0.5m
则相对运动的位移：△x=x₂-x₁=0.5-0.25=0.25m
摩擦产生的热量Q=μmg△x=0.8×0.5×10×0.25J=1J．
煤块获得动能：${E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}×0.5×4=1J$．
则带动传送带的电动机需要比传送带空载情况多消耗的电能E=Q+E_K=2J
答：（1）传送带的速度为2m/s；
（2）右轮半径的最大值为0.4m；
（3）由于传送煤块，电动机多做的功为2J．

点评 解决本题的关键理清煤块在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律、功能关系以及运动学公式进行求解．