Question

6．如图所示，物体的质量为5kg，两根轻质细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上的B、C两点，另一端系于物体上A点，（已知$\sqrt{6}$=2.449、$\sqrt{2}$=1.414、$\sqrt{3}$=1.732，g=10m/s²），求：
（1）若在物体上施加一外力F，使AB、AC伸直，则F的最小值为多大？
（2）若在物体上施加一个方向与水平成θ=45°的拉力F，要使AB、AC绳都能伸直，求拉力F的大小范围？（结果均保留三位有效数字）

Answer 1

分析 （1）由图可知，若两绳均伸直，则AB拉力可以提供向上的效果，而AC只能提供向下拉的效果，故当AC伸直但没有拉力时，此时有最小值，再根据几何关系即可求得最小值；
（2）对小球分析，明确AB和BC分别处于伸直但没有弹力的状态下为临界条件，分别作出平行四边形，由几何关系进行分析求解．

解答 解：（1）当AC恰好伸直但没有拉力时，此时A受重力、AB的拉力以及外力F，如图所示，当拉力方向与AB垂直时，拉力最小，最小值为：F'=mgcos30°=50×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=25$\sqrt{3}$N；
（2）作出物体A受力如图1所示，由平衡条件
F_y=Fsin45°+F₁sinθ-mg-F₂sin30°=0…①
F_x=Fcos45°-F₂cos30°-F₁cos30°=0…②
由当F较小时，绳AC中F₂=0，即F和F₁ 的合力与重力mg平衡，由图2所示；
由几何关系解得：F_min=44.8N
当F较大时，绳AB中张力F₁=0，F和F₂ 的合力与重力mg平衡，如图4所示，
由几何关系解得：F_max=167N
故拉力F的范围为；44.8N-167N．
答：（1）若在物体上施加一外力F，使AB、AC伸直，则F的最小值为25$\sqrt{3}$N；
（2）拉力F的大小范围为44.8N-167N．

点评 本题关键是对小球受力分析，列平衡方程，然后找出最大和最小两种临界情况讨论，本题的难度较大，要求学生有较高的数学知识的应用能力，注意在求解拉力的范围时用到的几何关系为正弦定理，注意图3中重力所对夹角为105°，而图4中重力所对夹角为15°；sin105°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．正弦定理为：$\frac{a}{sinα}=\frac{b}{sinβ}=\frac{c}{sinγ}$．