Question

如图所示，在xoy坐标系中，-

a

2

≤x≤

a

2

，0≤y≤a的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．大量质量为m、电量为+q的粒子（重力不计），在xoy平面内由O点沿与x轴成30°，以不同的速率射入，求：
（1）在磁场中运动时间最长的粒子的速率及运动时间；
（2）若在Y＜0区域有沿Y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，求在磁场中运动最长时间而速度最大的粒子达Y轴的总时间（从0点开始）及坐标．

Answer 1

分析：（1）根据粒子的周期的公式T=

2πm

qB

可知，所有的粒子的运动的周期都是相同的，所以经过的圆心角最大的粒子的运动的时间最长；
（2）根据粒子的运动的轨迹可以判断粒子的射出磁场时的坐标，粒子进入电场后，沿x轴的方向做的是匀速直线运动，从而可以求得粒子到达y轴的运动的时间，粒子沿y轴的方向做的是匀加速直线运动，由匀加速直线运动的规律可以求得粒子在y轴上运动的位移的大小．

解答：解：（1）从x轴负方向出磁场的时间最长，而与左边界相切的对应最大速度为υ_m，圆运动半径R，
由几何关系得，R+Rsin30°=

a

2

，
解得 R=

a

3

，

根据qvB=m

v2

R

解得 vm=

qBR

m

=

qBa

3m

，v≤vm=

qBa

3m

根据T=

2πR

v

解得 T=

2πm

qB

，tm=

5 3 π

2π

T=

5πm

3qB

（2）相切而时间最长的从x轴负半轴传出磁场坐标[-

a

3

，0]，
粒子在电场时间 t0=

a 3

vmcos30°

=

2 3

3qB

粒子的运动的总的时间为 t=tm+t0=

5πm

3qB

+

2 3 m

3qB

=

(5π+2 3 )m

3qB

到达y轴时的距离为 y=vmsin30°t0+

1

2

qE

m

t02=

3 a

9

+

2mE

3qB2

．

点评：电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．定圆心角，求时间．